Дифференцирование под знаком интеграла
(дифференцирование по параметру)
В предположении существования частной производной 
, для вычисления производной 
, Лейбниц дал правило, которое в обозначениях Лагранжа записывается как:
или, если воспользоваться обозначениями Коши
Если такая перестановка под знаком производной допустима, то говорят, что функцию можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла. Это вычисление производной под знаком интеграла и получило название правило Лейбница.
Если мы возьмём в (34) функцию 
и продифференцируем под интегралом, получим подынтегральную функцию (справа) в (35). Продифференцировав это выражение (под интегралом в (35) - получим подынтегральное выражение в (36). Затем находим вторую производную от левой части (34) . Интегрируя (36) и дважды дифференцируя получим выражение (37).
(34)
= 
(35)
= 
(36)
В нашем случае 
. Интегрируем (34):
= 
,
более подробно:
= 
= 
=
= 
= 
=
= 
= 
. (37)
Дифференцируем (37):
= 
.
=
= 
= 
.
Подставим 
= 
,
т.е. получили, что
= 
.
; 
.
Найдем 
= … или проще 
.
Откуда имеем:
( 
)
, 
, 
, 
, | 
|
Нужно обратить внимание, что появилась постоянная составляющая 
, т.е. площадь под кривой 
0.
- площадь под кривой!
По сравнению с «пилой» более быстрое спадание гармоник ( 
)
n = 1 1
n = 2 1/4 = 0.25
n = 3 1/9 
0.11
n = 4 1/16 = 0.08 ,
т.е. уже не 10 гармоник хватит, а 4. Это связано с большей гладкостью кривой. У функции имеем разрыв производной.
Общее свойство. Чем глаже кривая, тем скорее спадает спектр.
Проверим влияние гладкости кривой на поведение спектра. Рассмотрим функцию f(t) следующего вида, заданную на таком же интервале 
:
 |
Функция – четная, поэтому раскладываем по косинусам
= 
= 
= 
.
= 
= 
-
- 
= 
= 
= 
= 
. Т.е. получили, что
Мы видим, что, по сравнению с предыдущим случаем, меняется только , действительно, площадь изменилась, а спектральные гармоники не меняются.
В то же время, по сравнению с «пилой», существенное изменение
- разрыв f(t)
- разрыв f’(t)
- разрыв f’’(t) , и т.д.