Выборочный спектр стационарного эргодического процесса

 

Выборочный нормированный спектр стационарного случайного процесса X(t)на конечном интервале разложения можно определить через выборочную автокорреляционную функцию:

 

, (6.125)

 

где w – угловая частота ( ); – выборочная автокорреляционная функция; t_m – максимальный сдвиг при оценке автокорреляционной функции. При назначении t_m можно ориентироваться на следующее неравенство: (где n – длина ряда).

Период и угловая частота в формуле (6.125) связаны соотношением:

 

(6.126)

 

Заметим, что в различных ситуациях спектр приходится нормировать с помощью различных множителей, например, если используется абсолютная частота , пробегающая интервал [0, 0.5], то множитель нужно заменить на 2. Период и частота в этом случае будут связаны соотношением:

 

(6.127)

 

Формула (6.125) получена переходом от теоретического спектра к конечным разностям, однако эта оценка не является состоятельной. К лучшим оценкам спектральной плотности приводят методы, основанные на предварительном сглаживании автокорреляционной функции.

Процедура сглаживания состоит в том, что каждая ордината автокорреляционной функции умножается на весовой коэффициент. При этом учитывается тот факт, что с увеличением сдвига увеличивается ошибка выборочных ординат автокорреляционной функции. Поэтому с увеличением сдвига весовые коэффициенты убывают.

Функцию, сглаживающую автокорреляционную функцию, принято называть корреляционным окном, обычно ее обозначают l(t). В этом случае формула (6.125) принимает вид:

 

. (6.128)

 

В настоящее время разработано достаточно большое количество корреляционных окон, ниже представлены наиболее известные из них.

1. Прямоугольное окно:

 

(6.129)

 

2. Функция Барлетта (треугольное окно):

 

 

(6.130)

 

 

3. Функция Хемминга

 

 

(6.131)

 

4. Функция Ханна

 

 

(6.132)

 

 

5. Функция Парзена

 

 

(6.133)

 

 

5. Функция Наттолла

 

 

(6.134)

 

где, a₀ = 0.3635819; a₁ = 0.4891775; a₂ = 0.1365995; a₃ = 0.0106441.

 

 

На рисунке 6.14 даны графики перечисленных спектральных окон. Как видно на рисунке, прямоугольное окно дает одинаковые весовые коэффициенты и только усекает автокорреляционную функцию. У треугольного окна весовые коэффициенты убывают линейно. Эти окна не являются идеальными и в настоящее время используются редко.

Наиболее часто используются окна Хемминга, Ханна и Парзена.

Окно Наттолла в гидрологии используется довольно редко, однако оно имеет определенные преимущества перед остальными окнами. В частности этот метод максимально снижает уровень второстепенных шумов. Правда, в качестве расплаты за это, мы получаем боле сглаженный спектр.

 

 

Прямоугольное окно	Функция Барлетта (треугольное окно)
Функция Хемминга	Функция Ханна
Функция Парзена	Функция Наттолла

 

 

Рис.6.14. Различные корреляционные окна, при максимальном сдвиге t_m = 20.

 

Доверительный интервал для выборочного спектра приближенно описывается неравенством:

 

, (6.135)

 

где – квантиль распределения хи-квадрат при уровне значимости 2a ; – среднее значение спектра; n – число степеней свободы.

Число степеней свободы определяется по формуле

 

. (6.136)

 

Если в качестве нулевой гипотезы мы принимаем модель ряда в виде случайного процесса с независимыми сечениями, то средний спектр является константой. Для нормированного спектра при любом значении частоты w средний спектр равен

 

0.318. (6.137)

 

Если качестве нулевой гипотезы принята модель авторегресси первого или второго порядка (см. п.6.12.1) , то средний спектр можно определить по формулам (6.87, 6.88).