Неравенство Маркова
Теорема.Если случайная величина X может принимать только неотрицательные значения и у нее есть математическое ожидание, то какова бы ни была положительная величина x той же размерности, что и X, всегда выполняется неравенство
. (6.1)
Известно, что сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1, следовательно,
или
.
Отсюда и из неравенства (6.1) следует, что
. (6.2)
Неравенства (6.1) и (6.2) называют неравенствами Маркова.
Тест 6.1. чтобы имело место неравенство Маркова, случайная величина X должна:
1) принимать только неотрицательные значения;
2) иметь математическое ожидание;
3) принимать только положительные значения и иметь математи-ческое ожидание;
4) принимать только неотрицательные значения и иметь математическое ожидание;
5) принимать только отрицательные значения и иметь математи-ческое ожидание.
Пример 6.1. Средний срок службы мотора – 4 года. Используя неравенство Маркова, оценить вероятность того, что данный мотор прослужит менее 20 лет.
Решение
Пусть Х – срок службы мотора. Х –непрерывная случайная величина. Требуется оценить вероятность Р(Х < 20). По условию , . Воспользовавшись неравенством (6.1), получим .
Ответ: .
Пример 6.2. Среднее число дождливых дней в году в данном пункте равно 90. Используя неравенство Маркова, оценить вероятность того, что в этом пункте будет не менее 150 дождливых дней в году.
Решение
Пусть X – число дождливых дней в году в данном пункте. X – дискретная случайная величина. По условию M(X) = 90, x = 150. Применяя неравенство (6.2), находим
.
Ответ: .
Тест 6.2. Средний вес клубня картофеля равен 120 г. Оценкой вероятности того, что наугад взятый клубень картофеля весит менее 360 г, по неравенству Маркова является выражение:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Тест 6.3. Среднее число молодых специалистов, ежегодно направляемых в аспирантуру, составляет 200 человек. Оценкой вероятности того, что в данном году будет направлено в аспирантуру не менее 220 молодых специалистов, по неравенству Маркова является выражение:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Тест 6.4. Среднесуточное потребление электроэнергии в населенном пункте равно 12000 кВт × ч. Оценкой вероятности того, что потребление электроэнергии в этом населенном пункте в течение данных суток не менее 50000 кВт×ч, по неравенству Маркова является выражение:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .