ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Двумерной случайной величиной называется случайная величина (X;Y), задаваемая рядом распределения с двумя входами

y x y1 ym
x1 p11 p1m
xn pn1 pnm

 

Так как события {x = xi; y = yj} образуют полную группу, то .

Пример 5.1. Двумерная случайная величина задана рядом распределения.

 

y x y1 = 1 y2 = 2
x1 = 0 0,1 0,4
x2 = 3 0,2 p(x2; y2)

Какова вероятность p(x2; y2)?

Решение

p(x2; y2) = 1 – (0,1 + 0,4 + 0,2) = 0,3.

Ответ: 0,3.

Тест 5.1. Двумерная случайная величина задана рядом распределения

 

x y1 = 1 y2 = 2
x1 = 0 0,1 0,4
x2 = 3 0,2 p(x2; y2)

 

Вероятность p(x2; y2) равна:

1) 0;

2) 0,3;

3) 0,2;

4) 0,1;

5) 0,4.

Пример 5.2. Двумерная случайная величина задана рядом распределения

 


x y y1 = 1 y2 = 2
x1 = 0 0,1 0,4
x2 = 3 0,2 0,3

 

Записать ряд распределения случайной величины X.

 

Решение

 

X
pi 0,1 + 0,4 0,2 + 0,3

Тест 5.2. Двумерная дискретная величина (X, Y) задана законом распределения

 
0,1 0,3
0,4 p(x2; y2)

Вероятность p(x2; y2) равна:

1) 1;

2) 0,7;

3) 0,6;

4) 0,2;

5) 0.

 

Тест 5.3. Двумерная случайная величина задана рядом распределения

 


y1 = 1 y2 = 2
x1 = 0 0,1 0,4
x2 = 3 0,2 0,3

 

Вероятность появления x2 = 3 равна:

1) 0;

2) 0,1;

3) 0,2;

4) 0,3;

5) 0,5.

 

Тест 5.4. Двумерная случайная величина задана рядом распределения

 

y1= 1 y2= 2
x1= 0 0,1 0,4
x2= 3 0,2 0,3

 

Вероятность появления у1 = 1 равна:

1) 0;

2) 0,1;

3) 0,2;

4) 0,3;

5) 0,5.

 

Зависимость между случайными величинами x и y описывает корреляционный момент:

.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y, между которыми предполагается линейная корреляционная связь, называется величина, определяемая по формуле

.

Корреляционной матрицей называется матрица вида

.

Корреляционная матрица также устанавливает взаимосвязь наборов выборочных данных по величине:

· при 0 < rXY < 1 большим значениям случайной величины X соответствуют большие значения случайной величины Y;

· при –1 < rXY < 0 большим значениям случайной величины X соответствуют меньшие значения случайной величины Y (или наоборот);

· при rX = 0данные двух случайных величин некоррелированы;

· при существует линейная функциональная зависимость между случайными величинами X и Y.

Пример 5.3.Корреляционный момент kxy = 270. Какова зависимость между X и Y?

Решение

Так как kxy имеет размерность, то можно говорить лишь о прямой зависимости между Х и Y.

 

Пример 5.4.Коэффициент корреляции rXY = – 0,375. Какова зависимость между Х и Y?

 

Решение

По коэффициенту можно судить о виде зависимости и ее силе. Так как rXY = – 0,375 < 0, то зависимость обратная, так как , то связь между Х и Y высокая.

 

Тест 5.5. Известно, что kxy = 2,75, sХ = 3,1, sY = 2,5. Коэффициент корреляции равен:

1) ;

2) ;

3) .

Тест 5.6. Коэффициент корреляции rXY = 0. Тогда зависимость между X и Y:

1) прямая линейная;

2) обратная линейная;

3) данные двух случайных величин некоррелированы.

Тест 5.7. Коэффициент корреляции rXY = 1. Тогда зависимость между X и Y:

1) прямая линейная;

2) обратная линейная;

3) данные двух случайных величин некоррелированы;

4) функциональная прямая линейная.

Тест 5.8. Коэффициент корреляции rXY = –1. Тогда зависимость между X и Y:

1) прямая линейная;

2) обратная линейная;

3) данные двух случайных величин некоррелированы;

4) функциональная обратная линейная.

Вопросы для самоконтроля

1. Двумерные случайные величины.

2. Корреляционный момент.

3. Коэффициент корреляции.