Примеры решения задач
1.Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов . Найти длину волны де Бройля для двух ситуаций: 1) = 51 В; 2) = 510 кВ.
Дано: = 51 В; = 510 кВ; кг; Кл Найти: – ? – ? | Решение Длина волны де Бройля может быть выражена через импульс частицы и постоянную Планка (смотри формулу (3.7)): . Импульс частицы можно выразить через ее кинетическую энергию. При этом важно знать, |
является частица классической или релятивистской. Для решения этого вопроса сравним в каждом случае кинетическую энергию частицы с энергией покоя
. (3.16)
Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов , может быть определена после умножения разности потенциалов на модуль заряда электрона :
. (3.17)
Вычисляя по формуле (3.17), получим:
51 эВ = МэВ;
510 эВ = 0,51 МэВ.
Энергию покоя электрона найдем по формуле (3.16):
МэВ.
Очевидно, что , а . Следовательно, в первой ситуации электрон является классической частицей, а во второй – релятивистской. Поэтому импульс электрона определим следующим образом:
; (3.18)
. (3.19)
С учетом формул (3.18) и (3.19) представим формулу (3.7) в форме, удобной для выполнения вычислений:
; (3.20)
. (3.21)
Вычислим длину волны де Бройля по формулам (3.20) и (3.21) с учетом найденных ранее значений кинетической энергии электрона:
;
.
Ответы: 171,8 пм; 1,4 пм.
2. На узкую щель шириной а = 1 мкм направлен параллельный пучок электронов, имеющих скорость = 3,65 Мм/с. Учитывая волновые свойства электронов, определите расстояние х между двумя максимумами интенсивности первого порядка в дифракционной картине, полученной на экране, отстоящем на = 10 см от щели.
Дано: м; м/с; 1 = 1; k2 = -1; кг Найти: - ? | Решение Изобразим схему дифракции электронов на щели (рисунок 3.4), укажем на ней положения дифракционных максимумов 1 и k2, ширину щели , угол дифракции , искомое расстояние , расстояние от плоскости диафрагмы до экрана. |
Воспользуемся оптико-механической аналогией и учтем, что при дифракции на щели положение дифракционных максимумов приблизительно можно определить по формуле
, (3.22)
где k = 0, 1, 2, 3, …(в рассматриваемой ситуации следует выбрать k = 1), - длина волны, которую следует сопоставить электрону, то есть длина волны де Бройля, определяемая по формуле (3.7).
Так как заданная в условии задачи скорость электрона значительно меньше скорости света в вакууме, то электрон можно считать нерелятивистской частицей, а его импульс определять по формуле:
, (3.23)
где - масса покоя электрона, - скорость его движения.
Так как рассматривается дифракция в первый порядок, то угол дифракции мал, и можно считать, что
. (3.24)
Тангенс угла дифракции найдем, воспользовавшись схемой опыта:
, (3.25)
где - расстояние от центра дифракционной картины до рассматриваемого максимума.
Комбинируя формулы (3.7),(3.22) – (3.25) с учетом значения k = 1, получим выражение для расчета расстояния между указанными в задаче дифракционными максимумами:
. (3.26)
Вычислим искомое расстояние по формуле (3.26):
.
Ответ: х = 60 мкм.
3 На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения изменяется. Когда этот угол становится равным 64° , наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму первого порядка. Принимая расстояние между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определите длину волны де Бройля электронов и их скорость .
Дано: = 640; k = 1; d = 200 пм Найти: - ? - ? | Решение Воспользуемся для решения задачи формулой Вульфа-Брэгга, которая применима здесь, как и при дифракции рентгеновского излучения на кристалле: , (3.27) где – постоянная кристаллической решетки, – угол скольжения, – порядок дифракции, – длина волны де Бройля. |
Выражая из формулы (3.27) длину волны де Бройля, получим:
. (3.28)
Воспользуемся выражением длины волны де Бройля через импульс частицы и постоянную Планка:
. (3.29)
Из формулы (3.29) найдем скорость электрона:
. (3.30)
Вычислим искомые величины по формулам (3.29) и (3.30):
пм;
м/с = 2 Мм/с.
Ответы: 360 пм; 2 Мм/с.
4.Электрон в плоскопараллельном слое толщины из вещества, показатель преломления которого , движется со скоростью перпендикулярно ограничивающим слой плоскостям. Скорость электрона , при этом регистрируется излучение Вавилова – Черенкова. Определить угол раствора конического сектора, в котором сконцентрировано излучение вследствие конечности толщины слоя.
Дано: ; ; ; Найти: - ? | Решение Изобразим схематически описанную в задаче ситуацию (рисунок 3.5). |
Угол между направлением полета частиц и направлением излучения определяется из равенства
, (3.31)
где - скорость света в вакууме, - показатель преломления среды, - модуль скорости частицы.
Неопределенность импульса электрона, находящегося в слое вещества толщиной d, составляет величину порядка
, (3.32)
а неопределенность его скорости равна
, (3.33)
где – масса электрона.
Продифференцируем левую часть выражения (3.31) по , а правую часть – по :
. (3.34)
Считая неопределенности угла и скорости малыми величинами, представим (3.34) в виде:
. (3.35)
Из выражения (3.35) выразим модуль и учтем в полученном выражении формулу (3.33):
. (3.36)
Числовое значение найденного угла может быть определено после задания значений показателя преломления среды, толщины слоя и скорости электрона. При этом следует определить с применением основного тригонометрического тождества и формулы (3.31).
5. Комптоновское рассеяние квантов на электронах атомов осложняется тем, что электроны в атомах не находятся в покое. Оцените связанный с этим разброс в углах разлета электронов отдачи, выбиваемых из атомов водорода при рассеянии строго назад рентгеновских квантов с длиной волны = 0,1 нм.
Дано: = 0,1 нм; кг; Кл Найти: – ? | Решение Для оценки будем считать, что начальный импульс электрона был направлен перпендикулярно направлению движения фотона. Величину найдем из соотношения неопределенностей, записанного в виде: . (3.37) |
При этом неопределенность в положении электрона можно отождествить с радиусом первой боровской орбиты ( м).
Продольную составляющую импульса электрона после его взаимодействия с фотоном найдем, воспользовавшись законом сохранения импульса:
, (3.38)
а изменение частоты – применяя формулу Комптона
, (3.39)
где – комптоновское смещение длины волны, пм – комптоновская длина волны для электрона, – угол рассеяния. Так как рассматривается рассеяние строго назад, то
. (3.40)
Определяя импульс (скорость) электрона в ходе решения системы уравнений (3.38) и (3.40), легко убедиться, что
, (3.41)
и что электрон в данной задаче нерелятивистский.
Оценим теперь разброс в угле рассеяния электрона (рисунок 3.6 ).
На рисунке 3.6 видно, что
. (3.42)
Учтем в (3.42) формулы (3.37) и (3.41):
. (3.43)
Тогда искомый разброс угла рассеяния определим как
. (3.44)
Производя вычисления, получим:
.
Ответ: = 7,3°.
6.Оцените минимальный размер железной пылинки, при котором можно наблюдать эффект Мёссбауэра с энергией перехода Е = 14 кэВ и временем жизни = 10-3 с, если отдачей пылинки будет обусловлено доплеровское смещение, равное естественной ширине линии.
Примечание. Эффект Мёссбауэра заключается в том, что при достаточно низкой температуре отдачу испытывает не отдельное излучившее ядро, а весь кристалл (в рассматриваемой задаче – пылинка).
Дано: Е = 14 кэВ; = 10-3 с; Найти: - ? | Решение При излучении гамма-кванта пылинка приобретает импульс отдачи , (3.45) где Е – энергия гамма-кванта. |
Доплеровское смещение частоты гамма-кванта вследствие движения излучателя (пылинки) определяется из соотношения
. (3.46)
Естественную ширину линии найдем из соотношения неопределенностей:
. (3.47)
Комбинируя формулы (3.46) и (3.47), найдем минимальную массу пылинки, при которой еще наблюдается эффект Мёссбауэра:
. (3.48)
Оценим радиус пылинки, считая, что она имеет сферическую форму. Так как объем шара
(3.49)
и, иначе,
, (3.50)
то, комбинируя формулы (3.48), (3.49) и (3.50), получим:
. (3.51)
Вычислим по формуле (3.51) оценочное значение радиуса пылинки, приняв ее плотность равной 8000 кг/м3:
м.
Ответ: см.