Под действием силы притяжения одно небесное тело движется в поле тяготения другого небесного тела по одному из конических сечений - кругу, эллипсу, параболе или гиперболе.

где q - полярный угол (истинная аномалия).

3.

где M и m - массы центрального тела и спутника, индексы 1 и 2 относятся к различным парам “тело-спутник”.

В данной работе предполагается проверка третьего закона Кеплера в первом приближении, при этом можно считать орбиты планет круговыми и лежащими в одной плоскости.

При своём движении по орбитам планеты могут занимать различные положения относительно Солнца и Земли. Эти положения называются конфигурациями.

Прямые и попятные движения планет объясняются различием орбитальных линейных скоростей планеты и Земли.

Синодический период обращения (S) планеты - промежуток времени между её двумя последовательными одноименными конфигурациями.

Сидерический или звёздный период обращения (Т) - промежуток времени, в течение которого планета совершает один полный оборот вокруг Солнца по своей орбите. Сидерический период обращения Земли называется звёздным годом (Тз).

Угловое перемещение по орбите за сутки у планеты = 360/Т, а у Земли = 360/Тз. разность суточных угловых перемещений планеты и Земли есть видимое смещение планеты за сутки, т.е. 360/S.

Получаем для нижних планет:

Для верхних планет:

Это уравнения синодического движения.

Непосредственно из наблюдений могут быть определены только синодические периоды обращений планет S и сидерический период обращения Земли. Сидерические же периоды обращений планет вычисляются по уравнению синодического движения.

Продолжительность звёздного года равна 365,256 средних солнечных суток.

Взаимное расположение планет легко устанавливается по их гелиоцентрическим эклиптическим координатам, значения которых на различные дни года публикуются в астрономических календарях - ежегодниках, в таблице под названием “Гелиоцентрические долготы планет”.

Центром этой системы координат является центр Солнца, а основным кругом - эклиптика, полюсы которой П и П’ отстоят от неё на 90⁰.

Большие круги, проведённые через полюсы эклиптики, называются кругами эклиптических широт, и по ним отсчитывается от эклиптики гелиоцентрическая широта b, которая считается положительной в северном эклиптическом полушарии и отрицательной - в южном эклиптическом полушарии небесной сферы.

Гелиоцентрическая долгота l отсчитывается по эклиптике от точки весеннего равноденствия против часовой стрелки до основания круга широты светила и имеет значения в пределах от 0 до 360⁰. Из-за малого наклонения орбит больших планет к плоскости эклиптики эти планеты всегда находятся вблизи эклиптики, и в первом приближении можно считать их гелиоцентрическую широту b = 0. Тогда положение планеты относительно Солнца определяется лишь одной её гелиоцентрической долготой.

По гелиоцентрической долготе планет легко вычислить дни (даты) наступления различных конфигураций.

Гелиоцентрическая долгота Земли - l₀₁,

искомая конфигурация планеты.

При этом l₂ = l₁ + n(t₂ - t₁) = l₁ + nDt. l₀₂ = l₀₁ + n₀(t₂ - t₁) = l₀₁ + n₀Dt.

Откуда, обозначив l₂ - l₁ =Dl, l₀₂ - l₀₁ = Dl₀, n₀ - n = Dn получим

Тогда t₂ = t₁ + Dt.

Аналогично вычисляются дни наступления конфигураций нижних планет с учётом того, что нижняя планета движется быстрее Земли.

Наглядно продемонстрировать и проверить расчёт момента конфигураций планет можно с помощью модели Солнечной системы. Модель позволяет также осуществить проверку 3-го закона Кеплера.

Планеты на модели располагаются на расстояниях, пропорциональных действительным. Относительные размеры планет также соответствуют действительным.

На поверхности крышки прибора крепятся две шкалы:

- временная, с указанием месяцев года, с ценой деления 5 дней.

- гелиоцентрическая долгот, с ценой деления 5⁰.

Работа прибора основана на воспроизведении гелиоцентрических движений планет, что позволяет проводить демонстрации движений планет с сохранением их относительных синодических и сидерических периодов обращения.

Включая и выключая двигатель, можно определить взаимное расположение планет и их конфигурации в последующие моменты. При этом следует сравнить данные, получаемые на модели, с данными в астрономическом календаре - ежегоднике.

Рассмотрим, например, работу с прибором при проверке уравнения синодического движения для Марса:

или

Для этого, установив Марс в противостоянии с Землёй, например, на 1 января, включают двигатель и выключают его в тот момент, когда Марс сделает один оборот, т.е. займёт прежнее положение. За один оборот Марса Земля сделает 1 оборот + 321 сутки и остановится на дате 17 ноября, т.е. 365 + 321 = 686 суток. Следовательно, сидерический период Марса равен 686 земных суток, или 1,88 года.

Далее включают двигатель и следят, когда Марс вновь будет в противостоянии; в этот момент двигатель выключают. Это должно произойти 19 февраля, Земля к этому времени повернётся на (2 х 365 + 50) = 780 суток, что соответствует синодическому периоду Марса.

Подставив данные в формулу из уравнения синодического движения, убеждаемся в её справедливости. Эту же проверку можно осуществить с помощью секундомера, отмечая предварительно время одного оборота Земли, Марса, а затем синодический период. При этом за единицу времени следует брать время оборота Земли.

Аналогично проверяется 3-й закон Кеплера. Расстояния до планет измеряются линейкой, за единицу принимается расстояние от Земли до Солнца.

К зачёту необходимо:

1. Знать формулировки законов Кеплера.

2. Уметь различать конфигурации планет.

3. Уметь находить условия видимости планет в различных конфигурациях.

4. Знать уравнение синодического движения.

Образец заданий

1. Считая орбиты планет круговыми, определить гелиоцентрическую долготу Земли и планет по их конфигурациям:

21 марта – Меркурий в нижнем соединении, Венера в наибольшей западной элонгации, Марс в восточной квадратуре, Юпитер в соединении;

22 июня - Меркурий в верхнем соединении, Венера в наибольшей восточной элонгации, Марс в противостоянии, Юпитер в западной квадратуре.

(Сделать схематические рисунки, учитывая масштаб.)

2. С помощью подвижной карты звездного неба определить созвездия,

в которых находятся вышеуказанные планеты на данные даты.

3. Используя модель Солнечной системы, установить заданную планету в указанную конфигурацию и определить ее гелиоцентрическую долготу на 1993 год (гелиоцентрическую долготу Земли взять из Астрономического календаря-ежегодника):

а) 28 января Меркурий в верхнем соединении;

б) 7 января Марс в противостоянии.

4. По известной дате указанной ниже конфигурации вычислить дату очередной такой же конфигурации планеты:

а) 27 декабря Марс в соединении;

б) 23 октября Юпитер в противостоянии.

5. Вычислить синодический период обращения астероида Офелии.

а = 3.13 а.е.

6. Считая орбиты планет круговыми, определить линейную скорость движения по орбите планет Меркурий, Земля и Юпитер.

7. Определить звездный период обращения Марса, зная, что его синодический период равен 779.94 суток.

8. По точной формулировке третьего закона Кеплера определить массу Юпитера, зная, что расстояние 1-го спутника от Юпитера равно 422000 км, время его обращения вокруг Юпитера 1.77 суток, расстояние от Луны до Земли равно 384000 км, время обращения Луны вокруг Земли 27.32 суток.