Основные дидактические единицы (разделы )

 

1. Интегральные уравнения

 

Историческая справка. Примеры физических задач, приводящих к интегральным уравнениям. Понятие интегрального уравнения. Классификация уравнений по типу его ядра.

Интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода: Существование и единственность решения.

Метод последовательных приближений. Понятие о резольвенте интегрального уравнения.

Интегрирование уравнений с вырожденными ядрами. Метод определителей Фредгольма. Альтернативы Фредгольма

Уравнение Вольтерра: Метод последовательных приближений. Существования и единственности решения Связь между линейными дифференциальными уравнениями и интегральными уравнениями Вольтера. Резольвента интегрального уравнения.

Линейные операторы в гильбертовом пространстве. Скалярное произведение и норма. Ортогональность. Интегральные уравнения с симметрическими ядрами.

Оператор Фредгольма. Характеристические числа и собственные функции. Существование характеристического числа, действительность характеристических чисел, ортогональность собственных функций. Теорема Гильберта – Шмидта. Задача Штурма-Лиувилля. Экстремальные свойства характеристических чисел и собственных функций.

 

 

2. Элементы вариационного исчисления:

 

Предмет вариационного исчисления. Основные определения. Простейшая задача вариационного исчисления. Первая вариация и необходимые условия экстремума функционала.

Вторая вариация и достаточные условия экстремума функционала. Вариационные задачи на условный экстремум. О вариационных задачах с подвижными концами. Вариационные принципы механики: принцип Гамильтона – Остроградского; принцип наименьшего действия.

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать основные понятия и теоремы дисциплины.

Уметь определять тип уравнения. Решать поставленные конкретные задачи с применением теории. Владеть различными методами решения уравнений.

Уметь решать задачи отыскания экстремумов функционалов, при разного рода ограничениях:.

 

Дисциплины, изучения которых необходимо для усвоения курса.

 

Для изучения курса необходимо знать следующие разделы курса "Математический анализ": дифференцирование функций одного и многих переменных, неопределенный интеграл и определенный интеграл. Из курса "Высшая алгебра" требуется знание разделов: определители и решение систем линейных уравнений.

 

Виды учебной деятельности: лекции, практические занятия

Изучение дисциплины заканчивается зачетом.

 

 

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по курсу «Интегральные уравнения и вариационное исчисление».

Направление 510400 Физика

Степень - бакалавр физики

 

Семестр: 4.

Зачет

 

Распределение часов по разделам

 

Часть 1 Интегральные уравнения

 

Лекции - 12 ч

Практические занятия – 12ч

Всего - 24ч

 

№	Тема	Лекции	Практические занятия	Всего
	Классификация линейных интегральных уравнений. Уравнения Фредгольма и Вольтерра первого и второго рода. Примеры физических задач, приводящих к интегральным уравнениям.
	2) Интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода.
	3) Уравнение Вольтерра 2 рода
	4) Интегральные уравнения с симметрическими ядрами.
	Всего