Метод Фурье для решения уравнений теплопроводности
Найти функцию 
удовлетвор. уравнению
Физически нужно найти распределение температур в стержне длины l, в начальный момент времени 
, а на концах нулевая температура
, тогда
Получены вместо уравнения теплопроодности, два обыкновенных дифференциальных уравнения;
Чтобы получить нетривиальное решение удовлетворяющее однородным граничным условиям, необходима найти нетривиальные решения уравнения:
, удовлетворяющее граничным условиям 
Так же как и при решении однородной краевой задачи для волнового уравнения можно показать, что для
Существует нетривиальное решение 
n=1,2,3
Постал. задачи Штурман-?
Для решения Т получаем:
Тогда функции 
- собственные функции исходной краевой задачи соответствующее собственным значениям
и является соответственным решением исходной краевой задачи; образуем формальный ряд:
, потребовав, чтобы 
удовлетвор. начальным условиям
- коэффициент разложения функции в ряд Фурье по sin на интервале от 0 до n.
Общее решение
Предположим, что 
дважды непрерывно дифферен. на 
функции
, тогда ряд общего решения будет сходится и функции абсолютно и равномерно, поскольку:
Поэтому сумма этого ряда будет непрерывной в области 
, 
и удовлетворяет в этой области начальным и граничным условиям.
Рассмотрим общую краевую задачу
Для того чтобы решить эту задачу будем искать решение в виде:
, где
Тогда функция будет являться решением следующей краевой задачи:
- новое начальное условие для функции
Таким образом функция 
удовлетворяет уравнение:
или
Следовательно, исходная задача упростилась и свелась к нахождению функции
Из следующей краевой задачи
Разобьем ее на 2-е задачи:
Тогда функция
Решаем задачу нахождения функции 
, будем искать решение в виде:
Разложим функцию 
в ряд Фурье по sin на 
получим:
, где
Подставив полученные представления:
Приравняв соответствующий коэффициент при одинаковых sin, получим бесконечное число уравнений
Решение такой задачи, как было показано при решении волновой смешанной задачи, можно представить в виде свертки следующей функции
подставляем найденное решение в представлении для функции 
.
Найдем
решение 2-ой задачи.
Решение задачи для 
, где
Примеры зад. №18
n = 1 – 60
PLOT 3D[
Пример задачи №19
Во всех задачах начальные условия не изменяются.
Исходная задача упростилась и свелась к нахождению функции из следующей краевой задачи
Чтобы решить задачу, разобьем ее на две.
=> 
Решим задачу нахождения функции в виде:
разложим функцию 
в ряд Фурье по sin на интервале (0,l)
, где
подставим полученные представления:
Приравняв
или
Решение такой задачи, как было показано выше при решении смешанной волновой задачи, можно представить в виде свертки следующей функции.
подставляя найденное решение в представлении для функции , найдем, что
Общее решение.
А решение задачи для нахождения θ было получено ранее и имеет вид.
, где
Задача №17: из книги стр. 30 (зад. 5)
Задача №18: в №17 добавить условия.
Пример: (вариант 2)
Plot 3D
Задача №19 (вариант 2) Пример:
Во всех задачах начальные условия не изменяются.
