Модуль 3. Окружность и круг.

ЗАЯТИЯ 11, 12. Взаиморасположение окружностей.

В классе:

1. Две окружности радиуса r касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается извне третьей окружности радиуса R в точках А и В соответственно. Найти радиус r, если АВ=12, R=8. Ответ: 24.

2. Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке А. Общая касательная к обеим окружностям , проведенная через точку А, пересекает другую их общую касательную в точке В. Найти радиус второй окружности, если АВ=4. Ответ: 8.

3. Две окружности касаются внутренним образом. Прямая, проходящая через центр большей окружности, пересекает ее в точках А и D, а меньшую окружность – в точках В и С. Найти отношение радиусов окружностей, если AB:BC:CD=3:7:2. Ответ: 3:2.

4. Две окружности касаются внешним образом в точке С. Общая внешняя касательная касается первой окружности в точке А, а второй – в точке В. Прямая АС пересекает вторую окружность в точке D, отличной от С. Найти ВС, если АС=9, CD=4. Ответ: 6.

5. Дана окружность с центром в точке О радиуса 2. Из конца отрезка ОА, пересекающего окружность в точке М, проведена касательная АК, причем ÐОАК=60⁰. Найти радиус окружности, вписанной в угол ОАК и касающейся данной окружности внешним образом. Ответ: .

6. Радиусы окружностей S₁ и S₂, касающихся в точке А, равны R и r соответственно (R>r). Прямая ходящая через точку В окружности S₁, касается окружности S₂ в точке С. Найти ВС, если АВ=а. Ответ: .

7. Две окружности радиусов R и r (R>r) касаются внутренним образом. Найти радиус третьей окружности, которая касается первых двух и их общего диаметра. Ответ: .

8. Две окружности радиусов 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D, причем CD=8 и точка В лежит между точками С и D. Найти площадь треугольника ACD. Ответ: .

9. Дан ромб ABCD. Радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС и BCD равны 1 и 2. Найти расстояние между центрами этих окружностей. Ответ: .

Дома:

1. Две окружности радиуса r касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается изнутри третьей окружности радиуса R в точках А и В соответственно. Найти радиус R, если АВ=11,
r =5. Ответ: 55.

2. Две окружности касаются внешним образом друг друга в точке С. Радиусы окружностей равны 2 и 7. Общая касательная к обеим окружностям, проведенная через точку С, пересекает другую их общую касательную в точке D. Найти расстояние от центра меньшей окружности до
точки D. Ответ: .

3. Две окружности касаются внутренним образом. Прямая, проходящая через центр меньшей окружности, пересекает большую окружность в точках А и D, а меньшую окружность – в точках В и С. Найти отношение радиусов окружностей, если AB:BC:CD=2:4:3. Ответ: 3.

4. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке А. Найти радиусы окружностей, если хорды, соединяющие точку А с точками касания одной из общих внешних касательных, равны 6 и 8. Ответ: , .

5. Точка В является серединой отрезка АС=6. Проведены три окружности радиуса 1 с центрами в точках А, В, С. Найти радиус четвертой окружности, касающейся этих трех. Ответ: или .

6. В круге с центром О хорда АВ пересекает радиус ОС в точке D, причем ÐCDA=120⁰. Найти радиус окружности, вписанной в угол ADC и касающейся дуги АС, если ОС=2, OD= .
Ответ: или .

7. Отношение радиусов окружностей S₁ и S₂, касающихся в точке В, равно к (к>1). Из точки А окружности S₁ проведена прямая, касающаяся окружности S₂, в точке С. Найти АС, если известно, что хорда, высекаемая окружностью S₂ на прямой АВ, равна b. Ответ: .

8. Две окружности радиусов R и r (R>r) касаются внешним образом друг друга и некоторой прямой. Найти радиус третьей окружности, которая касается первых двух и этой прямой.
Ответ: .

9. Две окружности радиусов и пересекаются в точке А. Расстояние между центрами окружностей равно 3. Через точку А проведена прямая, пересекающая окружности в различных точках В и С, так что АВ=АС. Найти АВ. Ответ: .

10. В параллелограмме ABCD известны стороны АВ=а, ВС=b и угол ÐBAD=α. Найти расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB.
Ответ: .

ЗАНЯТИЯ. 13, 14. Касательная и секущая.

В классе:

1. Из точки A, расположенной вне окружности, проведена касательная AB=20 и секущая AC=40. Расстояние от центра окружности до прямой AC равно 8. Найти радиус окружности. Ответ 17.

2. В большей из двух концентрических окружностей проведена хорда длиной 32, касающаяся меньшей окружности. Найти радиусы этих окружностей, если ширина образовавшегося кольца равна 8. Ответ: 12 и 20.

3. Точка A находится внутри окружности радиуса 6 и делит проходящую через нее хорду BC на отрезки AB=4 и AC=5. Найти расстояние от точки A до цента окружности. Ответ: 4.

4. Две окружности радиусов 3 и 4 с центрами в точках О₁ и О₂ касаются некоторой прямой в точках М₁ и М₂ соответственно и лежат по разные стороны от этой прямой. Отношение отрезков О₁О₂ и М₁М₂ равно . Найти О₁О₂. Ответ: 14.

5. На прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 12, взятии точки А и В, причем ОА=15, АВ=5 и точка А лежит между точками О и В. Из точек А и В проведены касательные к окружности, точки касания которых лежат по одну сторону от прямой ОВ. Найти площадь треугольника АВС, где С – точка пересечения этих касательных. Ответ: .

6. Внешняя касательная двух окружностей радиусов 2 и 5 в 1,5 раза больше их внутренней касательной. Найти расстояние между центрами этих окружностей. Ответ: 9.

7. Из точки, расположенной вне окружности, на расстоянии от ее центра, проведена секущая, внутренняя часть которой вдвое меньше внешней и равна радиусу окружности. Найти радиус окружности. Ответ: 1.

8. Окружность, диаметр которой равен , проходит через вершины стороны АВ=1 четырехугольника ABCD. Длина касательной, проведенной из точки С к окружности, равна 3. Найти сторону ВС. Ответ: .

9. В треугольнике АВС стона ВС равна 4, а медиана, проведенная к этой стороне, равна 3. Найти длину общей хорды двух окружностей, которые проходят через точку А и касаются прямой ВС в точках В и С соответственно. Ответ: .

10. Окружность, проходящая через вершины B, C, D параллелограмма ABCD, касается прямой AD и пересекает прямую АВ в точках В и Е. Найти АЕ, если AD=4 и СЕ=5. Ответ: .

11. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=АС) проведены биссектрисы AD, BE, CF. Найти ВС, если известно, что АС=1, а вершина А лежит на окружности, проходящей через
точки D, E, F. Ответ: .

Дома:

1. Из одной точки к окружности проведены две касательные длиной 12. Расстояние между точками касания равно 14,4. Найти радиус окружности. Ответ: 9.

2. Радиусы двух окружностей равны 27 и 13, а расстояние между их центрами равно 50. Найти длины общих касательных к этим окружностям. Ответ: 48 и 30.

3. Из точки А, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая. Расстояние от точки А до точки касания равно 16, а расстояние от точки А до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32. Найти радиус окружности, если расстояние от ее центра до секущей равно 5. Ответ: 13.

4. Две окружности радиусов 12 и 7 с центрами в точках О₁ и О₂ касаются некоторой прямой в точках М₁ и М₂ соответственно и лежат по одну сторону от этой прямой. Отношение отрезков О₁О₂ и М₁М₂ равно . Найти М₁М₂. Ответ: 10.

5. В окружности радиуса 4 проведены хорда АВ и диаметр АК, образующий с хордой угол . Из точки В проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра АК в точке С. Найти медиану АМ треугольника АВС. Ответ: .

6. Из точки А проведены два луча, пересекающие данную окружность: один – в точках В и С, а второй – в точках D и Е. Известно, что АВ=ВС=7, AD= 10. Найти DE. Ответ: 0,2.

7. Окружность диаметра проходит через соседние вершины М и N прямоугольника MNPQ. Длина касательной, проведенной из точки Q к окружности, равна 1. Найти площадь прямоугольника MNPQ, если PQ=2. Ответ: .

8. В прямоугольном треугольнике АВС с катетами АВ=3 и ВС=4 через середины сторон АВ и АС проведена окружность, касающаяся катета ВС. Найти длину отрезка гипотенузы АС, который лежит внутри этой окружности. Ответ: .

9. Из точки А, находящейся на расстоянии 5 от центра окружности радиуса 3, проведены две секущие АКС и ALB, угол между которыми равен 30⁰ (K, C, L, B – точки пересечения секущих с окружностью). Найти площадь треугольника AKL, если площадь треугольника АВС равна 10. Ответ: .

10. В параллелограмме ABCD угол BCD равен 150⁰, а сторона AD равна 8. Найти радиус окружности, касающейся прямой CD, проходящей через вершину А и пересекающей сторону AD на расстоянии 2 от точки D. Ответ: .

 

 

ЗАНЯТИЯ 15, 16. Углы, связанные с окружностью.

В классе:

1. В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что ÐАВС=116⁰, ÐADC=64⁰, ÐСАВ=35⁰ ÐCAD=52⁰. Найти угол между диагоналями, опирающимися на сторону АВ. Ответ: 81⁰.

2. Внутри угла с вершиной О взята некоторая точка М. Луч ОМ и стороны данного угла образуют углы, один из которых больше другого на 10⁰. Точки А и В являются проекциями точки М на стороны данного угла. Найти угол между прямыми АВ и ОМ. Ответ: 80⁰.

3. В треугольнике АВС проведены биссектрисы AD и ВЕ, пересекающиеся в точке О. Известно, что ОЕ=1, а вершина С лежит на окружности, проходящей через точки E, D, O. Найти стороны и углы треугольника EDO. Ответ: 1, 1, , 120⁰, 30⁰, 30⁰.

4. В прямоугольном треугольнике АВС угол при вершине А равен 60⁰, точка О – середина гипотенузы АВ, а точка Р – центр вписанной окружности. Найти угол РОС. Ответ: 15⁰.

5. Окружность, проходящая через вершины А, В, С параллелограмма ABCD, пересекает прямые AD и CD в точках М и N. Точка М удалена от вершин В, С, D на расстояния 4, 3, 2 соответственно. Найти MN. Ответ: .

6. В трапеции MNPQ (MQ║NP) угол NQM в два раза меньше угла MPN. Известно, что NP=MP= , MQ=12. Найти площадь трапеции. Ответ: .

7. Квадрат и круг имеют общий центр, а их площади равны. Сторона квадрата равна 1. Найти сумму длин частей окружности, лежащих внутри квадрата. Ответ: .

8. Дан прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Диаметр круга совпадает с большим катетом. Вычислить площади частей круга, на которые он разбивается гипотенузой. Ответ: и .

Дома:

1. В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что ÐАCB=25⁰, ÐACD=40⁰, ÐBAD=115⁰. Найти угол ADB. Ответ: 25⁰.

2. В четырехугольнике ABCD углы В и D прямые. Диагональ АС образует со стороной АВ угол 40⁰, а со стороной AD – угол 30⁰. Найти острый угол между диагоналями АС и BD. Ответ: 80⁰.

3. Вершина угла величиной 70⁰ служит началом луча, образующего с его сторонами углы 30⁰ и 40⁰. Из некоторой точки М на этот луч и на стороны угла опущены перпендикуляры с основаниями А, В, С. Найти углы треугольника АВС. Ответ: 30⁰, 40⁰, 110⁰.

4. На стороне АВ треугольника АВС во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник. Найти расстояние между его центром и вершиной С, если АВ=1 и ÐС=120⁰. Ответ: .

5. Дан треугольник АВС. Из вершины А проведена медиана АМ, а из вершины В – медиана ВР. Известно, что угол АРВ равен углу ВМА, косинус угла АСВ равен 0,8, ВР=1. Найти площадь треугольника АВС. Ответ: .

6. Точка Е лежит на продолжении стороны АС равностороннего треугольника АВС за точку С. Тока К – середина отрезка СЕ. Прямая, проходящая через точку А перпендикулярно АВ, и прямая, проходящая через точке Е перпендикулярно ВС, пересекаются в точке D. Найти углы треугольника BKD. Ответ: 30⁰, 60⁰, 90⁰.

7. Вне равностороннего треугольника АВС, но внутри угла ВАС взята точка М, причем ÐСМА=30⁰, а ÐВМА=α. Найти ÐАВМ. Ответ: 180⁰-2α.

8. В сектор с центральным углом 60⁰ вписан круг с площадью . Найти радиус сектора. Ответ: 3.

9. Сторона правильного треугольника равна a. Из его центра радиусом описана окружность. Найти площадь частей треугольника, лежащих вне окружности. Ответ: .

ЗАНЯТИЯ 17, 18. Четырехугольники. Правильные многоугольники.

В классе:

1. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника перпендикулярны и равны 2 и 7. Найти площадь четырехугольника. Ответ: 14.

2. Диагонали выпуклого четырехугольника равны а и b, а отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон равны между собой. Ответ: .

3. В окружность радиуса 5 вписан четырехугольник ABCD с прямым углом при вершине D. Найти периметр четырехугольника ABCD, если его площадь равна 44 и AB:BC=4:3. Ответ: .

4. Найти площадь вписанного в окружность четырехугольника ABCD, если AC= , и , где E есть точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Ответ: .

5. Дан правильный 30-угольник с центром в точке O. Найти угол между и . Ответ: 84⁰.

6. Данный квадрат со стороной a срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Найти площадь этого восьмиугольника. Ответ: .

Дома:

1. У выпуклого четырехугольника диагонали равны 2 и 4. Найти площадь этого четырехугольника, зная, что отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны. Ответ: 4.

2. Дан выпуклый четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны а и b. Найти площадь четырехугольника с вершинами в серединах сторон данного. Ответ: .

3. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, диагональ AC которого равна . Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABD, если ÐABC=105⁰, ÐACD=42⁰, ÐDAC=63⁰. Ответ: .

4. В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е перпендикулярно ВС, пересекает сторону AD в точке М. Доказать, что ЕМ – медиана треугольника AED и найти ее длину, если АВ=7, СЕ=3, ÐADB=α. Ответ: .

5. Сторона правильного шестиугольника равна a. Найти сторону равновеликого ему правильного треугольника. Ответ: .

6. Найти сторону правильного 12-угольника, если он вписан в окружность
радиуса 1. Ответ: .

Департамент образования города Москвы