Постановка начальных и краевых условий

 

Начальные условия показывают, в каком состоянии находилась струна в момент начала колебаний. Удобнее всего считать, что струна начала колебаться в момент времени . Начальное положение точек струны задается условием:

, (2.2)

а начальная скорость:

, (2.3)

где и – заданные функции.

Записанные начальные условия аналогичны начальным условиям в простейшей задаче динамики материальной точки. Там для определения закона движения материальной точки нужно знать начальное положение точки и ее начальную скорость.

Иной характер имеют краевые условия. Они показывают, что происходит на концах струны во все время колебаний. В простейшем случае, когда концы струны закреплены (начало струны – в начале координат, а конец в точке ), функция будет подчиняться условиям:

, . (2.4)

Сформулируем окончательную математическую задачу, к которой приводит изучение свободных колебаний струны, закрепленной на обоих концах.

Требуется решить однородное линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами:

(2.5)

при начальных условиях

, (2.6)

и краевых условиях

, . (2.7)

Функции и определены на интервале и, как следует из первого начального условия и краевых условий, .