Упражнения для самостоятельной работы.

 

1. Сколько всегочетырёхзначных натуральныхчисел? Сколько всего четырёхзначных натуральныхчисел, в записи которых нет одинаковых цифр?

 

2. Собрание из 25 человек выбирает президиум из 3 человек. Первый – председатель, второй – заместитель, третий – секретарь. Сколькими способами это можно сделать?

 

3. Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных из группы студентов, состоящей из 25 человек?

 

4. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «здание»?

 

5. Имеется пять видов конвертов без марок и четыре вида марок одного достоинства. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?

 

6. Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата – белый и черный? Та же задача, но ограничений на цвет выбранных квадратов нет?

 

7. Из 10 букв русского алфавита А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К составляются всевозможные сочетания по 6 элементов. Ответить на следующие вопросы: а) сколько всего таких сочетаний, б) сколько из составленных сочетаний содержат букву А, в) сколько из составленных сочетаний содержат буквы А и Б, г) сколько сочетаний не содержат букву А, д) в скольких сочетаниях содержится 2 гласные и 4 согласные?

 

8. Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу (т.е. чтобы какое-то число очков встречалось на обеих костях)?

 

9. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли бить друг друга?

 

10. Семь девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?

 

11. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. В скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз? В скольких случаях равно один туз? В скольких случаях не менее двух тузов? Ровно два туза?

 

12. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове «математика»?

 

13. Найти количество анаграмм слова «филология».

 

14. Сколькими способами 4 пирата могут разделить между собой 8 одинаковых монет?

 

15. Сколькими способами можно образовать трехфонемное слово?

 

16. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? Сколькими способами можно купить 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

 

17. Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4 можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если каждая цифра может повторяться в записи числа несколько раз?

 

18. Сколькими способами можно переставить буквы слова «перешеек» так, чтобы буквы «е» не шли подряд?

 

19. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского на любой другой из пяти языков?

 

20. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

 

21.Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами им могут быть поставлены отметки, если известно, что никто из них не получит неудовлетворительной отметки?

 

22. Сколькими способами можно расставить 20 книг в книжном шкафу с 5 полками, если каждая полка может вместить все 20 книг?

 

23. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?

 

24. Найти сумму четырехзначных чисел, полученных при всевозможных перестановках цифр 1, 2, 3, 4.

 

25. Сколькими способами можно разбить 30 рабочих на 3 бригады по 10 человек в каждой бригаде? На 10 групп, по 3 человека в каждой группе?

 

26. Сколькими способами можно разделить колоду из 36 карт пополам так, чтобы в каждой пачке было по два туза?

 

27. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если каждая из них может повторяться несколько раз?

 

28. На школьном вечере присутствует 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

 

29. Сколькими способами 12 одинаковых монет можно разложить по пяти пакетам, если ни один из пакетов не должен быть пустым?

 

30. Сколькими способами можно составить 6 слов из 32 букв, если в совокупности этих 6 слов каждая буква используется один и только один раз?

 

31. Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособность» так, чтобы буквы «о» не шли подряд?

 

32. При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать?

 

33. Сколькими способами группу из 24-х студентов можно расселить в восьми комнатах общежития по три человека в каждой комнате?

 

34. Сколькими способами 18 одинаковых открыток можно разложить по трём конвертам? Та же задача, но если в каждом конверте должно быть не менее 2-х открыток?

 

35. Сколькими способами можно выбрать 3 согласные и 2 гласные буквы в слове «безответственность»? Сколько слов можно получить, меняя порядок букв в этом слове? Тот же вопрос, но если после буквы «б» должна следовать буква «е»? Та же задача, но если две буквы «н» стоят рядом, не стоят рядом?

 

36. Монета подбрасывается 10 раз. Сколько существует способов выпадения 4-х «решек» и 6-ти «орлов»?

 

37. Найти общее решение рекуррентного соотношения:

а) б) в)

 

38. Найти , зная рекуррентное соотношение и начальные члены последовательности решения:

а)

б)

в)

 

39. Доказать, что последовательность с общим членом удовлетворяет рекуррентному соотношению

Указание: характеристические уравнение можно записать в виде имеющее корень кратности .

 

40. Сколькими способами можно разменять 10 копеек. монетами, достоинством в 1, 2, 3 и 5 копеек.

Ответ: 20 способов.

 

41. Поступающий в ВУЗ абитуриент должен сдать 4 экзамена. Он считает, что для поступления будет достаточно набрать 17 балов. Сколькими способами он может сдать экзамен, чтобы поступить в ВУЗ?

Указание: См. решение №5. Число способов 31 считая, что он наберет число балов

 

42. За пересылку бандероли нужно уплатить 18 копеек. Сколькими способами это можно сделать, если имеются марки стоимостью 4, 6 и 10 копеек?

Указания: См. решение задачи №5. 8 способов.

 

43. В кошельке лежат монеты в 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20 и 50 копеек по одной монете каждого достоинства. Сколькими способами можно уплатить этими монетами за покупку стоимостью в 73 копеек?

Указание: См. замечание после решения задачи №8. 4 способа.

 

44. В кошельке лежат 10 монет по 2 копейки, и 5 монет по 3 копейки. Сколькими способами можно уплатить этими монетами сумму в 22 копейки?