Аппроксимация функций, заданных экспериментальными данными с помощью алгебраических и тригонометрических многочленов

 

В ходе автоматизированной обработки результатов испытаний технических систем часто возникает необходимость аппроксимации функций, заданных экспериментальными данными. В простейшей постановке задача аппроксимации формулируется следующим образом. Пусть в результате проведения эксперимента в точках х₁ ,..„х_N найдены значения у₁,...,у_N некоторой неизвестной функции у = f(х), а также задан определенный класс функций L={φ (х; θ)}, где θ=(θ₁,...,θ_k) - вектор произвольных параметров. Для функции у=f(х) необходимо выбрать функцию φ(х; θ) из класса L, в некотором смысле близкую к f(х). В зависимости от выбора класса функций L, а также критерия близости функций, можно построить различные алгоритмы аппроксимации, позволяющие решать самые разнообразные практические задачи.

Одной из простейших задач аппроксимации является задача интерполяции, для которой функции f(х) и φ(х; θ) считаются "близкими", если:

f(x_j) = φ(х; θ), (4.1)

т.е. f(x) и φ(х; θ) совпадают в точках х_j, j=1,...,N. Точки х_j обычно называются узлами интерполяции. Эта задача возникает в тех случаях, когда известно, что ошибки эксперимента являются настолько малыми, что их можно не учитывать.

Если ошибки в экспериментальных данных являются существенными, в качестве критерия близости функций можно взять сумму квадратов:

, (4.2)

а соответствующий метод аппроксимации называется методом наименьших квадратов.

Для решения различных практических задач можно также использовать минимаксный критерий, при котором функция φ(х; θ) выбирается из условия минимума функции:

. (4.3)