Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента линейной корреляции

Это ответ на вопрос: существует ли вообще эта связь.

Эмпирический коэффициент корреляции, как и любой другой выборочный показатель, служит оценкой своего ге нерального параметра. Выборочный коэффициент линейной корреляции r_в - величина случайная, так как он вычисляется по значениям переменных, случайно попавшим в выборку из генеральной совокупности, а значит, как и любая случайная величина, имеет ошибку т_r.

Чтобы выяснить, находятся ли случайные величины X и Y генеральной совокупности в линейной корреляционной зависимости, надо проверить значимость r_в. Для этого проверяют нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности H₀: r_ген = 0, то есть линейная корреляционная связь между признаками X и Y случайна. Выдвигается альтернативная гипотеза H₁: r_ген ≠ 0, то есть эта линейная корреляционная связь имеется. Задается уровень значимости, например, α ≤ 0,05.

Критерием для проверки нулевой гипотезы является отношение выборочного коэффициента корреляции к своей ошибке:

где т_r - ошибка коэффициента корреляции.

Если объем выборки п < 100, то ;

если объем выборки п > 100, то .

Число степеней свободы для проверки критерия равно f = п - 2. Гипотезу проверяют по таблицам распределения Стьюдента в соответствии с выбранным уровнем значимости.

По таблице критических точек распределения Стьюдента находим t_крит (α, f), определенное на уровне значимости α ≤ 0,05 при числе степеней свободы f = п - 2, где n - объем двумерной выборки.

Если t_набл > t_крит => H₁- отвергают нулевую гипотезу и принимают альтернативную: r_ген ≠ 0, имеется линейная корреляционная связь между признаками.

Если t_набл < t_крит - то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, а r_в статистически незначим. Эта связь случайна.

Проверить значимость коэффициента корреляции r = 0,74 между переменными X и Y для выборки объема n = 50.

Решение:

Проверяется нулевая гипотеза H₀ об отсутствии линейной корреляционной связи между переменными X и Y в генеральной совокупности H₀: r_ген = 0.

При справедливости этой гипотезы , где ошибка коэффициента корреляции и имеют распределение Стьюдента сf = n-2 степенями свободы.

Рассчитаем: .

По таблицам находим табличное значение t-критерия Стьюдента, определенное на уровне значимости α ≤ 0,05 и при числе степеней свободы f = 50 - 2 = 48, t_крит(α ≤ 0,05; 48) = 2,02.

Поскольку t_набл > t_крит, 7,62 > 2,02, коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.

Причем это справедливо и для уровня значимости:

α ≤ 0,001 (t = 3,55).

По выборке объема п = 122, извлеченной из нормальной двумерной совокупности (X, Y), найден выборочный коэффициент линейной корреляции r = 0,4. При уровне значимости α ≤ 0,05 проверить нулевую гипотезу H₀, которая заключается в том, что связь между признаками случайна.

Решение:

Сравниваем: t_набл > t_крит (α, f), 5,24 > 1,98 => H₁ – отвергается нулевая гипотеза.

Вывод: имеется умеренная линейная корреляционная связь между признаками: r = 0,4 (α ≤ 0,05).