Перевірка нормальності розподілу за допомогою показників асиметрії і ексцесу

Для багатьох практичних задач статистики важливою є задача встановити чи є розподіл випадкової величини нормальним. Для цього користуються поняттям асиметрії та ексцесу.

Асиметрія - величина, що характеризує несиметричність розподілу елементів вибірки щодо середнього значення. Приймає значення від - 1 до 1. У разі симетричного розподілу рівна 0. Коефіцієнт асиметрії, або третій центральний момент розподілу, є кількісною характеристикою ступеня скошеності розподілу. Вибірковий коефіцієнт асиметрії визначається по формулі:

Як випливає із даної формули, коефіцієнт асиметрії є безрозмірною величиною і рівний нулю у симетричних розподілах. Якщо розподіл має довгу частину, розташовану праворуч від вершини, то асиметрію називають позитивною, а розподіл з довгою частиною кривої густини, розташованої зліва від вершини, називають негативною асиметрією.

Ексцес - ступінь вираженості "хвостів" розподілу, тобто частоти появи віддалених від середнього значень. Коефіцієнт ексцесу, або четвертий центральний момент, кількісно характеризує гостровершинність розподілу. Вибірковий коефіцієнт ексцесу обчислюється за формулою:

Для нормального (гаусового ) розподілу коефіцієнт ексцесу рівний нулю. Криві розподілу з гострою вершиною мають позитивний ексцес, а з плоскою - негативний. Таким чином, при нормальному законі розподілу вибіркових даних коефіцієнти асиметрії і ексцесу рівні нулю.

 


 

Додаток №4.

Критичні точки -критерію Ст’юдента

  Число ступеней вільності , %   Число ступеней вільності , %
    99.9     99.9
12,71 63,66 64,60 2,10 2,88 3,92
4,30 9,92 31,60 2,09 2,86 3,88
3,18 5,84 12,92 2,09 2,85 3,85
2,78 4,60 8,61 2,08 2,83 3,82
2,57 4,03 6,87 2,07 2,82 3,79
2,45 3,71 5,96 2,07 2,81 3,77
2,37 3,50 5,41 2,06 2,80 3,75
2,31 3,36 5,04 2,06 2,79 3,73
2,26 3,25 4,78 2,06 2,78 3,71
2,23 3,17 4,59 2,05 2,77 3,69
2,20 3,11 4,44 2,05 2,76 3,67
2,18 3,05 4,32 2,05 2,76 3,66
2,16 3,01 4,22 2,04 2,75 3,65
2,14 2,98 4,14 2,02 2,70 3,55
2,13 2,95 4,07 2,0 2,66 3,46
2,12 2,92 4,02 1,98 2,62 3,37
2,11 2,90 3,97 1,96 2,58 3,29

Додаток №5

Критичні значення коефіцієнта асиметрії ( ), що використовується для перевірки гіпотези про нормальність розподілу

 

Об’єм вибірки Рівні значущості, % Об’єм вибірки Рівні значущості, %
   
0,711 1,061 0,251 0,360
0,661 0,982 0,230 0,329
0,621 0,921 0,213 0,305
0,587 0,869 0,200 0,285
0,558 0,825 0,188 0,269
0,533 0,787 0,179 0,255
0,492 0,723 0,171 0,243
0,459 0,673 0,163 0,233
0,432 0,631 0,157 0,224
0,409 0,596 0,151 0,215
0,389 0,567 0,146 0,208
0,350 0,508 0,142 0,202
0,321 0,464 0,138 0,196
0,298 0,430 0,134 0,190
0,280 0,403 0,130 0,185
Р 0,05 0,01 — 0,05 0,01

 


Додаток № 6

Критичні значення коефіцієнта ексцеса (Ех), що використовується для перевірки гіпотези про нормальність розподілу

 

 

Об’єм вибірки n Рівні значущості, %
0,890 0,907 0,936
0,873 0,888 0,914
0,863 0,877 0,900
0,857 0,869 0,890
0,851 0,863 0,883
0,847 0,858 0,877
0,844 0,854 0,872
0,841 0,851 0,868
0,839 0,848 0,865
0,835 0,843 0,859
0,832 0,840 0,855
0,830 0,838 0,852
0,828 0,835 0,848
0,826 0,834 0,846
0,818 0,823 0,832
0,814 0,818 0,826
0,812 0,816 0,822
0,810 0,814 0,820
р 0,10 0,05 0,01

 


ЛИТЕРАТУРА

1. Хастингс Н., Пикок Дж. Справочник по статистическим распределениям. -М.: Статистика, 1980.-95 с.

2. А.Н.Зайдель. Погрешности измерений физических величин. Л., Наука, 1985.

3.Рабинович С.Г. Погрешности измерений.-Л.:Энергия, 1978.-262 с.

4.Чкалова О.Н. Основы научных исследований.-К.:Вища школа, 1978.- 18 с.

5. Л.Г.Деденко. В.В.Керженцев. Математическая обработка и оформление результатов эксперимента. М., Изд-во МГУ, 1977-.

6. Кучерук I.M..Дущенко В.П.,АндриановВ.М. Обробка результате фізичних вимірювань.-К.: Вища школа,1981.- 216 с.

7. Физический практикум. Механика и молекулярная физика. Под редакцией В.И.Ивероновой. М., Наука, 1967.

8. П.В.Новицкий, И.А.Зограф. Оценка погрешностей результатов измерений. Л., Энергоатомиздат, 1991.

9. Лабораторные работы по курсу физики для естественных факультетов МГУ. Механика. М., Моск. ун-т. 1997.

10. Зажигаев Л.С.,Кишьян А.А., Романиков Ю.И. Методы планирования и обработка результатов физического эксперимента.-М.:Атомиз-дат,1978.-231 с.

11. Методическая разработка по общему физическому практикуму. Погрешности измерений. Сост. Д.В.Белов. М., МГУ, 1993.

12. Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности.-М,: Наука,1977.- 335 с.


[1] Функція густини імовірності при розподілі Ст'юдента визначається за допомогою формули

 

де - гама функція Ейлера x-1dy