Анализ чувствительности решения к изменению коэффициентов целевой функции
Анализ чувствительности к изменению коэффициентов целевой функции cj предполагает определение пределов изменения этих коэффициентов при условии неизменности полученного оптимального решения.
При исследовании на чувствительность решения к изменению коэффициентов целевой функции cj прямой задачи удобно воспользоваться решением двойственной задачи. Для двойственной задачи конечная симплекс-таблица в матричном виде может быть записана: , (6.21)
где [YB] – матрица-столбец базисных переменных конечной симплекс-таблицы двойственной задачи;
[P*] – матрица перехода базисных переменных конечной симплекс-таблицы двойственной задачи;
- матрица-столбец исходных коэффициентов целевой функции прямой задачи (в двойственной задаче они играют роль правых частей ограничений);
[C] - матрица-столбец конечных значений коэффициентов cj двойственной задачи (для прямой задачи это конечное значение коэффициентов целевой функции).
Аналогично рассмотренному ранее вводится понятие вектора устойчивости оптимального решения двойственной задачи к коэффициентам cj:
. (6.22)
Для исследования на чувствительность решения к изменению коэффициентов cj исходят из следующих соображений: значения приращений Dcj как компонент вектора устойчивости [DC] должны иметь знак, соответствующий оптимальным коэффициентам в строке целевой функции последней симплекс-таблицы (иначе решение станет уже не оптимальным).
Вектор устойчивости коэффициентов cj может быть записан через матрицу преобразования двойственной задачи [P*] в виде
. (6.23)
Условие неотрицательности для компонент вектора-столбца [DC], аналогично рассмотренному [DB], может быть представлено в виде системы:
(6.24)
Анализ этой системы легко осуществить отдельно для изменения каждого коэффициента cj . Пределы изменения коэффициента cj при переменной xj, оказавшейся в последней симплекс-таблице прямой задачи в числе свободных, определяются непосредственно коэффициентом в строке целевой функции этой переменной (например, Dс1£57/4 из симплекс-таблицы прямой задачи означает, что изменение с1 на величину Dс1£57/4 не приводит к изменению как оптимального решения, так и целевой функции).
Изменение коэффициентов при переменных, оказавшихся в числе базисных последней симплекс-таблицы, приводит к изменению целевой функции.
Например, с2 и с3 при х2 и х3 , приращения Dс2 и Dс3 приведут к изменению целевой функции на величину DF = Dс2x2+Dс3x3. При сохранении неизменным полученного оптимального решения х2=const, x3=const.
При одновременном изменении нескольких коэффициентов решается система неравенств.