Передаточные функции четырехполюсника

Две любые ветви произвольной электрической цепи можно характеризовать переменными и , понимая под каждой из них либо ток, либо напряжение этих ветвей. Под передаточной функцией цепи в установившемся синусоидальном режиме условимся понимать соотношение вида

откуда

.

При этом величину можно трактовать как некоторую функцию возмущения, а величину - как реакцию цепи на это возмущение.

Предположим, что возмущение передается через четырехполюсник, тогда функция будет определяться параметрами данного четырехполюсника.

Передаточная функция четырехполюсника при фиксированной частоте является комплексным числом

где представляет собой модуль передаточной функции, равный отношению действующих значений или амплитуд выходного и входного сигналов;

является аргументом передаточной функции, равным фазовому сдвигу между выходным и входным сигналами, и -начальные фазы сигналов.

Передаточная функция может иметь различное смысловое содержание

Если входная и выходная величины представляют собой напряжение (рис. а), то передаточная функция называется передаточной функцией по напряжению и является безразмерной величиной.

В случае, когда входная и выходная величины представляют собой токи (рис. б), передаточная функция называется передаточной функцией по току и также не имеет размерности.

Если входная величина является током, а выходная напряжением (рис. в), то передаточная функция имеет смысл взаимного сопротивления. Напротив, когда входная величина представляет собой напряжение (рис. г), а выходная - ток, передаточная функция является проводимостью между рассматриваемыми участками цепи.

Зависимость модуля передаточной функции от частоты называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) четырехполюсника. Зависимость аргумента передаточной функции от частоты называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) четырехполюсника. Эти зависимости, построенные в некотором диапазоне частот, дают наглядное представление о характере передачи сигналов данной цепью.

Рассмотрим пример определения передаточной функции электрической цепи, изображенной на рисунке.

Рассчитаем передаточные функции вида и .

Можно записать:

Где

В результате получим

Процесс передачи мощности через четырехполюсник принято характеризовать величиной

которую называют мерой передачи четырехполюсника.

Ограничимся рассмотрением симметричного четырехполюсника, подключенного к согласованной нагрузке. В этом случае имеем

поэтому выражение для меры передачи примет вид:

где - коэффициент затухания, показывающий, во сколько раз изменится действующее значение напряжения или тока( ) при прохождении сигнала через четырехполюсник; - коэффициент фазы, показывающий, как изменится начальная фаза сигнала при прохождении через четырехполюсник.

Cопоставляя выражения для меры передачи и передаточной функции , получим следующие соотношения

На практике для количественной характеристики величины коэффициента затухания используют децибелы [дБ]. Если дБ, то и, следовательно, , что соответствует .

Уменьшение выходного напряжения в раз по отношению к входному напряжению соответствует затуханию дБ. В теории электрических фильтров диапазон частот, в котором выполняется условие (что соответствует затуханию менее 3 дБ), носит название полосы пропускания фильтра.

Амплитудно-частотные характеристики часто изображают не в линейном, а в логарифмическом масштабе. такие характеристики называют логарифмическими амплитудно-частотными характеристиками (ЛАЧХ); на них по оси ординат принято откладывать величину , измеряемую в децибелах, а по оси абсцисс , где - приведенное к произвольной базисной константе значение частоты. Положительное значение величины соответствует усилению сигнала, отрицательное - его ослаблению.

Рассмотрим задачу определения зависимости коэффициента передачи по напряжению от частоты.

Коэффициент передачи по напряжению для рассматриваемой цепи равен

При переходе к ЛАЧХ имеем

.

Выберем в качестве базисной частоту , тогда .

ЛАЧХ для рассматриваемого четырехполюсника приведена на рисунке при Ом и мкФ.

При ЛАЧХ имеет горизонтальную асимптоту, а для , когда , асимптота имеет отрицательный наклон 20 дБ/дек (декада соответствует изменению частоты в десять раз).