Для тонких тел вращения

 

Рассмотрим обтекание тонкого удлиненного тела вращения при малом угле атаке. В этом случае возмущенный поток в окрестности тела мало отличается от невозмущенного. По методу малых возмущений потенциал скорости потока удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению и может быть представлен в виде суммы трех составляющих (рис. 9.10):

,

 

где потенциал невозмущенного потока; – потенциал скорости возмущения при осесимметричном обтекании тела потоком со скоростью – потенциал, возникающий при поперечном обтекании тела потоком со скоростью .

Согласно линейной теории потенциал обтекания тонкого тела при сверхзвуковых скоростях описывается уравнением

 

 

.

 

 

 

а б в

 

Рис. 9.10. Тонкое тело вращения при малом угле атаки:

а – ; б – в –

 

 

В безразмерных координатах ( , и , где – диаметр миделевого сечения; – длина тела) уравнение для потенциала перепишется в виде

 

. (9.16)

Для тонких тел << 1, и, пренебрегая первым слагаемым в выражении (9.16) ввиду его малости, запишем следующее:

 

. (9.17)

 

Уравнение (9.17) есть ни что иное, как уравнение Лапласа – уравнение неразрывности для плоского потенциального течения несжимаемой жидкости. То есть поток в плоскости ZOY поперечного сечения тонкого тела можно считать двумерным, совпадающим с поперечным обтеканием цилиндра радиусом, равным местному радиусу тела вращения , несжимаемой жидкостью. Кроме того, из уравнения (9.17) следует также, что потенциал обтекания тонкого тела не зависит от числа .

В результате некоторых преобразований уравнения (9.17) и интегрирования по углу получим выражение для нормальной силы, действующей на элемент тела вращения длиной :

 

, (9.18)

где . Отсюда следует, что нормальная сила появляется только на участках с переменной площадью поперечного сечения. Знак силы зависит от знака производной (рис. 9.11).

 

 

а б

 

Рис. 9.11. Распределение нормальной силы по поверхности конуса:

а – цилиндрического тела; б – параболического тела

 

Носовая часть корпуса создает положительную нормальную силу, а суживающаяся хвостовая часть – отрицательную нормальную силу, тогда как цилиндрический отсек, для которого , при обтекании тела идеальной жидкостью не создает нормальной силы.

Нормальная суммарная сила для тонкого тела вращения равна

а коэффициент нормальной силы равен

 

, (9.19)

 

где – относительная площадь донного среза (угол измеряется в радианах). Для носовой части и независимо от формы носовой части и числа Маха.

Момент элементарной нормальной силы относительно вершины тела (рис. 9.12) – момент тангажа – равен Знак «минус» в этой формуле говорит о том, что создаваемый момент – это момент на пикирование:

 

,

Коэффициент момента равен

,

т. е. , где – объем носовой части.