В несжимаемой жидкости
Для области тонкого пограничного слоя, в котором собственно и проявляются силы трения, Л. Прандтль предложил особый метод упрощения уравнений движения (7.3), основанный на сравнении порядка величины членов уравнения и отбрасывания членов высшего порядка малости.
Пусть поток движется вдоль твердой прямолинейной границы в направлении оси ОХ (рис. 7.4). Вдоль этой границы образуется пограничный слой, толщина которого . Рассмотрим плоский пограничный слой в установившемся потоке несжимаемой жидкости ( , скорость течения не зависит от времени, плотность постоянная). Массовыми силами для газа можно пренебречь ( ). С учетом принятых допущений запишем уравнения Навье–Стокса следующим образом:
, (7.4)
, (7.4а)
и уравнение неразрывности в виде
. (7.4б)
Эта система уравнений полностью описывает движение вязкой жидкости в пределах пограничного слоя в рамках настоящей задачи.
Оценим порядок входящих в эти уравнения членов, имея в виду, что , т. е. имеет порядок толщины пограничного слоя ( ~ ) и является малой величиной по сравнению с характерным размером обтекаемой поверхности, например, его длиной . Скорость в пределах пограничного слоя ( ~ ), продольная координата , т. е. ~ .
Тогда приращение скорости имеет порядок величины скорости во внешнем потоке . Установим порядок величины производных, входящих в уравнения (7.4):
~ ; ~ ; ~ ; ~ .
С учетом уравнения неразрывности (7.4б) ~ . Поскольку , то ~ ~ , ~ , ~ . Записав порядки величин членов уравнения (7.4), сравним их:
.
Сравнение показывает, что оба слагаемых левой части уравнения (инерционные члены) имеют один и тот же порядок малости . Вязкие члены (в скобках правой части) имеют разный порядок, причем первое слагаемое существенно меньше второго: отношение первого ко второму равно . Поэтому первым слагаемым можно пренебречь, и уравнение (7.4) запишется в несколько упрощенном виде:
. (7.5)
Внутри пограничного слоя силы вязкости и силы инерции имеют одинаковый порядок, т. е. их отношение должно быть равным единице. Тогда из уравнения (7.5), записав инерционный и вязкий члены через их порядки, получаем, что их отношение равно и отсюда откуда получается вполне очевидное соотношение: ~ .
Проведя подобный анализ членов второго уравнения (7.4а), приходим к аналогичной выражению (7.5) упрощенной записи:
.
Инерционные члены этого уравнения имеют порядок и относятся к инерционным членам первого уравнения как (малая величина). Точно в таком же отношении друг к другу находятся и вязкие члены. Следовательно, решая задачу с использованием обоих уравнений, мы приходим к выводу, что наибольший вклад в конечный результат дает уравнение (7.5). Очевидно, что вклад второго уравнения не превышает указанного отношения, т. е. . Поэтому инерционными и вязкими членами второго уравнения можно пренебречь и в задаче исследования течения в пограничном слое вообще не учитывать. Тогда из второго уравнения системы с достаточной точностью можно записать следующее:
.
То есть, давление внутри пограничного слоя не меняется вдоль нормали к контуру тела и равняется давлению на внешней границе пограничного слоя.
Это один из главных выводов, полученных в результате упрощения исходной системы уравнений.
Таким образом, распределение давления вдоль поверхности тела совпадает с распределением давления на внешней границе пограничного слоя, которое можно найти, решая задачу обтекания данного тела невязким (потенциальным) потоком.
Так как , то и = . В результате упрощений получаем систему уравнений, описывающих движение вязкой жидкости в пределах пограничного слоя:
(7.6)
Система уравнений (7.6) интегрируется при следующих граничных условиях:
1) при – на внутренней границе пограничного слоя (на стенке) ;
2) при – на внешней границе пограничного слоя скорость течения равна скорости потенциального потока: .