I. Математический анализ
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ
1. Числовые бесконечные последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Возрастающие и убывающие последовательности. Предел последовательности. Основные теоремы о пределах последовательностей.
2. Определение конечного предела функции в точке. Арифметические операции над конечными пределами.
3. Пределы функции на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, понятие о неопределенности. Основные теоремы о пределах.
4. Два замечательных предела, число Эйлера, натуральные логарифмы.
5. Правые и левый пределы функции в точке. Непрерывность функции в точке и на множестве. Точки разрыва и их классификация.
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
1. Односторонние производные в точке. Производная функции в точке. Дифференцируемость функции в точке и на множестве. Геометрический смысл производной, уравнение касательной к плоской кривой.
2. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций.
3. Теорема о производной сложной функции. Вывод производных от тригонометрических функций.
4. Понятие об обратной функции. Теорема о производной от обратной функции. Вывод производных от обратных тригонометрических функций.
5. Вывод производных от показательных и логарифмических функций.
6. Вывод производной от степенной функции. Дифференцирование показательно-степенной функции.
7. Понятие о дифференциале функции. Связь дифференциала с производной. Свойства дифференциала, таблица дифференциалов. Применение дифференциала к приближенным вычислениям значений функций.
8. Производные высших порядков. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ
ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
1. Возрастающие и убывающие функции на промежутке. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции на промежутке.
2. Локальные минимумы и максимумы функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Глобальные свойства непрерывных функций. Глобальный экстремум.
3. Выпуклые и вогнутые функции на промежутке, точка перегиба. Достаточные условия выпуклости и вогнутости на промежутке.
4. Ограниченные и неограниченные функции. Периодические функции. Четные и нечетные функции. Асимптоты графика функции. Вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.
5. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл, его основные свойства.
2. Таблица неопределенных интегралов и ее связь с таблицей производных.
3. Независимость неопределенного интеграла от выбора аргумента. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
4. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
5. Интегрирование простейших рациональных дробей.
6. Интегрирование некоторых видов иррациональностей.
7. Интегрирование тригонометрических функций.
8. Определенный интеграл, его основные свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
9. Метод замены переменной и метод интегрировании по частям в определенном интеграле.
10. Геометрический смысл определенного интеграла. Вычисление площадей криволинейных трапеций.
11. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от функций, имеющих разрывы на промежутке интегрирования.