Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

 

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу.

Так, если область D имеет вид, изображенный на рис. 5 (ограничена лучами , , где , и кривыми r = r₁( ) и r = r₂( ), где r₁( ) r₂( ), т.е. область D правильная: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках, то формула для вычисления двойного интеграла в полярных координатах принимает вид:

 

, (3)

где D* –– область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат. Внутренний интеграл вычисляется при постоянном .

Замечания.

1. Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид f(x² + y²); область D есть круг, кольцо или часть таковых.

2. На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены x = rcos , y = rsin , dxdy = rdrd ; уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются в полярные координаты. Преобразование области D в область D* не выполняют, а совместив декартовую и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по r и (исследуя закон изменения r и точки (r; ) при ее совмещении с точкой (x; y) области D).

Пример 3. Вычислить двойной интеграл , где D –– круг, ограниченный окружностью x² + y² = 2x, перейдя к полярным координатам.

Решение.

1. Построим указанную область, преобразовав уравнение окружности: x² + y² = 2x;
x² – 2x + 1 + y² = 1; (x – 1)² + y² = 1. Это есть уравнение окружности с центром в точке (1; 0) и
R = 1 (рис. 6).

2. Совместив полюс с началом координат и полярную ось с положительным направлением оси Ox, запишем:

x² + y² = r²cos² + r²sin² = r²(cos² + sin² ) = r²;

x² + y² = 2x, r² = 2rcos , r = 2cos .

3. Из рис. 6 наглядно видно, что , 0 r 2cos .

4.