Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

При вычислении двойного интеграла в декартовых координатах будем пользоваться следующими правилами:

1) представить данный интеграл в виде двукратного по формулам (1) или (2);

2) формулы (1) и (2) справедливы и в случае, когда f(x, y) < 0, (x; y) D;

3) если область D –– правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислить по формуле (1) , так и по формуле (2);

4) если область D не является правильной ни «по x» ни «по y», то для сведения двойного интеграла к двукратному следует разбить ее на части, правильные в направлении оси Оx или Оy;

5) полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.

Пример 2. Вычислить , где область D ограничена линиями: y = x², y = 0, x + y – 2 = 0.

Решение. На рис. 4 изображена область интегрирования D. Она правильная в направлении оси Оx. Для вычисления двойного интеграла воспользуемся формулой (2):

 

Если для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой (1), то область D надо разбить на две области D₁ и D₂.

Получаем

Ответ, разумеется, один и тот же, но его было быстрее получить, воспользовавшись формулой (2).