Построение доверительного интервала
Проверка значимости полученного значения линейного коэффициента корреляции rxy ничего не говорит о том, насколько это значение может отличаться от точного значения. Ответ на этот вопрос дает построение доверительного интервала.
Под доверительным интервалом понимаются пределы, в которых лежит точное значение определяемого показателя с заданной вероятностью (P = 1-α).
Вычисленное на основании данных таблицы 1.1 значение rxy рассматривается как приближенное, отличающееся от точного значения линейного коэффициента корреляции, обозначаемого 
. Ставится задача определить такой интервал (r– , r+), который будет содержать точное значение с заданной вероятностью.
Если в границы доверительного интервала попадет нулевое значение, т. е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то значение rxy принимается равным нулю, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.
Для статистически значимого коэффициента корреляции 
доверительный интервал получают с использованием Z-преобразования Фишера 
. Первоначально определяется приближенное значение величины z по формуле
. (1.6)
Затем для точного значения 
определяется интервальная оценка, т. е. вычисляются границы доверительного интервала (z– , z+) , такого, что с заданной вероятностью выполняется условие z– < < z+
(1.7)
где t1-α/2 – квантиль стандартного нормального распределения порядка 1–α/2.
Граничные значения доверительного интервала (r– , r+) для получаются из граничных значений доверительного интервала (z– , z+) для с помощью обратного Z-преобразования Фишера 
. (1.8)
Контрольные вопросы:
1. Как вычисляется линейный коэффициент парной корреляции ?
2. Как осуществляется оценка статистической значимости линейного коэффициента парной корреляции ?
3. Что называется уровнем значимости?
4. Как строится доверительный интервал для линейного коэффициента парной корреляции?
Задачи.
1. По величине коэффициента линейной корреляции rxy = 0,46 определить степень тесноты зависимости между признаками x и y. (Слабая).
2. Можно ли говорить о наличии линейной зависимости между переменными x и y, если по 52 наблюдениям было получено значение = 0,42. Ответ дать с вероятностью ошибки 5 %. (Можно).
Лабораторная работа№ 1
Задание. На основании данных таблицы П1.1 для соответствующего варианта (табл. 1.3):
1. Вычислить линейный коэффициент парной корреляции .
2. Проверить значимость коэффициента парной корреляции при заданном уровне значимости α.
3. Построить доверительный интервал для значимого линейного коэффициента парной корреляции .
Таблица 1. 3
Варианты кривых выравнивания к лабораторной работе № 1
| Вариант | Графы из табл. П1.1 | Уровень значимости |
| 1, 2 | 0,05 | |
| 1, 3 | 0,025 | |
| 1, 4 | 0,01 | |
| 1, 5 | 0,05 | |
| 1, 6 | 0,025 | |
| 1, 7 | 0,01 | |
| 1, 8 | 0,05 | |
| 2,3 | 0,025 | |
| 2, 4 | 0,01 | |
| 2, 5 | 0,05 | |
| 2, 6 | 0,025 | |
| 2, 7 | 0,01 | |
| 2, 8 | 0,05 | |
| 3,4 | 0,025 | |
| 3,5 | 0,01 | |
| 3, 6 | 0,05 | |
| 3, 7 | 0,025 | |
| 3, 8 | 0,01 | |
| 4,5 | 0,05 | |
| 4,6 | 0,025 | |
| 4,7 | 0,01 | |
| 4,8 | 0,05 | |
| 5,6 | 0,025 | |
| 5,7 | 0,01 | |
| 5,8 | 0,05 |
Пример выполнения лабораторной работы№ 1
Исходные данные:
- наблюдаемые значения переменных x и y заданы в таблице 1.4;
- уровень значимости α = 0,05.
Таблица 1. 4
Исходные данные
| Области | x | y | Области | x | y | ||
| Белгородская | Рязанская область | ||||||
| Брянская | Смоленская | ||||||
| Владимирская | Тамбовская | ||||||
| Воронежская | Тверская | ||||||
| Ивановская | Тульская | ||||||
| Калужская | Ярославская | ||||||
| Костромская | Архангельская | ||||||
| Курская | Вологодская | ||||||
| Липецкая | Калининградская | ||||||
| Московская | Ленинградская | ||||||
| Орловская | Мурманская |
1) Вычисление σx, σy и (1.3), (1.4). Используя данные таблицы 1.5 получим
Таблица 1. 5
Промежуточные результаты расчетов
| Номер наблюдения | x | y | x2 | y2 | xy | 
| ( –y)2
| (  )2
|
| 33,16 | 34,13 | 1,00 | ||||||
| 37,24 | 0,06 | 9,00 | ||||||
| 37,24 | 1,54 | 16,00 | ||||||
| 36,49 | 0,24 | 16,00 | ||||||
| 38,75 | 162,52 | 196,00 | ||||||
| 43,34 | 0,12 | 9,00 | ||||||
| 34,63 | 13,19 | 81,00 | ||||||
| 33,16 | 46,81 | 0,00 | ||||||
| 36,49 | 132,44 | 64,00 | ||||||
| 42,95 | 442,90 | 576,00 | ||||||
| 37,99 | 1,01 | 1,00 | ||||||
| 35,75 | 3,05 | 36,00 | ||||||
| 37,62 | 1,91 | 1,00 | ||||||
| 35,00 | 3,99 | 9,00 | ||||||
| 36,49 | 2,22 | 25,00 |
Продолжение таблицы 1. 5
| Номер наблюдения | x | y | x2 | y2 | xy |
| ( –y)2
| ( )2
|
| 40,65 | 178,23 | 196,00 | ||||||
| 41,80 | 33,63 | 16,00 | ||||||
| 41,80 | 46,23 | 25,00 | ||||||
| 42,57 | 73,42 | 36,00 | ||||||
| 37,24 | 115,76 | 64,00 | ||||||
| 36,87 | 47,14 | 100,00 | ||||||
| 46,85 | 147,58 | 361,00 | ||||||
| Сумма | 844,081 | 1488,136 | ||||||
| Среднее значение | 126,91 | 16190,55 | 1683,545 | 5116,636 | 38,367 | 67,643 | 83,545 |
= 9,199,
= 9,140,
= 0,479.
2) Проверка значимости (1.5).
= 2,44.
Для определения tкрит может использоваться статистическая функция СТЬЮДРАСПОБР(0,05;20) из MS Excel, либо функция TINV(0,05;20) из OpenOffice.org Calc, либо таблица П4.2 из приложения.
При α = 0,05 и степени свободы k = n–2 = 20–2 = 20
tкрит = t1-α,n-2 = СТЬЮДРАСПОБР(0,05;20) =2,086.
Рис. 1.1 Окно ввода параметров функции СТЬЮДРАСПОБР() MS Excel
Так как
= 2,44 > t1-α,n-2 = 2,086,
то делаем вывод о статистической значимости линейного коэффициента парной корреляции .
3) Построение доверительного интервала для линейного коэффициента корреляции (1.8) – (1.10).
Определим величину z (1.8) Z-преобразования Фишера
= 0,522.
Для определения t1-α/2 – квантиля стандартного нормального распределения порядка 1–α/2 = 1 – 0,05/2 = 0,975 может использоваться статистическая функция НОРМСТОБР(0,975) из MS Excel, либо функция NORMSINV(0,975) из OpenOffice.org Calc, либо таблицы П4.1 из приложения.
t1-α/2 = НОРМСТОБР(0,975) = 1,96.
Рис. 1.3 Окно ввода параметров функции НОРМСТОБР() MS Excel
Для получения t1-α/2 из таблицы П4.1 нужно использовать соотношение
1-α/2 – 0,5 = Ф(t1-α/2),
т. е. нужно определить ячейку (клетку) таблицы П4.1, содержащую значение 1-α/2 – 0,5 и сложить значение t, соответствующее данной строке с номером столбца, умноженным на 0,01: t1-α/2 = t + Nстолбца·0,01.
Так как α = 0,5, 1-α/2 – 0,5 = 1 – 0,05/2 -0,5 = 0,475. Ячейке, содержащей число 0,475, соответствуют t = 1,9 и Nстолбца = 6, поэтому
t1-α/2 = t + Nстолбца·0,01 = 1,9 + 0,06 = 1,96.
Вычислим 
.
Вычислим границы доверительного интервала (z– , z+) для величины z
,
.
Определим граничные значения доверительного интервала (r– , r+), содержащего коэффициент корреляции rxy.
Для определения значения 
может использоваться статистическая функция ФИШЕРОБР(z)) из MS Excel, либо функция FISHERINV(z) из OpenOffice.org Calc.
.
Рис. 1.4 Окно ввода параметров функции ФИШЕРОБР() MS Excel
Искомый доверительный интервал для rxy имеет вид (0,072; 0,75).
Результаты:
1) 
= 0,479.
2) Коэффициент rxy статистически значим.
3) Доверительный интервал для rxy – (0,072; 0,75).