Разложение в степенной ряд

Теорема Тейлора (о разложении функции в степенной ряд).

Функция, аналитическая в области комплексных чисел D, в окрестности каждой точки z₀ этой области представляется в виде степенного ряда:
(1)

радиус сходимости R которого не меньше, чем расстояние от точки z₀до границы области D.
Такой степенной ряд называется рядом Тейлора.

Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются по формуле:

(2)

где - произвольный контур, принадлежащий области D и охватывающий точку z₀(в частности, - окружность ), или по формуле:

(3)

Радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от точки z₀ до ближайшей особой точки функции.

Для вычисления радиуса сходимости ряда Тейлора можно также использовать формулы:

Основные разложения.

(z принадлежит области комплексных чисел);

33.

34. Изолированные особые точки. Ряд Лорана.

Точка z₀, принадлежащая области комплексных чисел, называется изолированной особой точкой функции f(z), если такая, что f(z) является однозначной аналитической функцией в (в самой точке аналитичность f(z) нарушается).

Изолированная особая точка z₀ функции f(z) называется:

· устранимой особой точкой, если существует и конечен;

· полюсом, если ;

· существенно особой точкой, если не существует.

· Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням).

Функция f(z), аналитическая в кольце
r < | z - z₀ | < R,
представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство:
(1)

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле: (2)
где - произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z₀; в частности,
- окружность

Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лорана функции f(z).

Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана:
или

Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши:
где
 - радиус контура интегрирования в формуле (2).

На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f(z) - его суммы.

Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z₀ (r = 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z₀ = 0, ).

При построении разложений в ряд Лорана используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами.

Для того чтобы особая точка функции f(z) была ее устранимой особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть. Это означает, что если z₀- устранимая особая точка, то ряд Лорана функции f(z) имеет вид: (1)
для z₀ - конечной точки, принадлежащей области комплексных чисел.

Для того чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала конечное число членов.

Ряд Лорана функции f(z) в случае z₀-полюс имеет вид:
(2)
если z₀ принадлежит области комплексных чисел.

Номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности полюса называется порядком полюса.
Так, точка z₀является полюсом порядка n функции f(z), если в разложении (2) , C_k = 0 при k < -n.

Для того чтобы особая точка функции была ее существенно особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала бесконечное число членов. Ряд Лорана функции f(z) в случае z₀ - существенно особой точки имеет вид: (3)
если z₀принадлежит области комплексных чисел.

35. Вычеты, их вычисление. Основная теорема теории вычетов.

Вычетом функции в изолированной точке называется интеграл

где - замкнутый контур, содержащий одну особую точку .

Вычетом функции в точке называется интеграл

Основные формулы для нахождения вычетов: 1. Если а – устранимая особая точка для функции f (z), то

2. Если а – полюс первого порядка функции f (z), то

В частности, если

,где (z) и(z) – регулярные в точке а функции, причем а

, а)

а)

, то точка а является простым полюсом функции f (z) и

3. Если точка а – полюс порядка т

1 для функции f (z), то

. В частности, если

, h(z) – регулярна в точке а, h(а)

0, то справедлива формула

. 4. Если f (z) регулярна в точке z=

, то

,где

. 5. Если функция f (z) представима в виде

,где функция

регулярна в точке  =0, то

Приведем еще одну, важную для практического вычисления вычетов теорему. Теорема. Если z=a (а ) – изолированная особая точка однозначного характера функции f (z), то ,где с_–1 – коэффициент при в ряде Лорана функции f (z) в окрестности точки z=a и ,где с_-1 – коэффициент при в ряде Лорана функции f (z) в окрестности точки z=

Основная теорема о вычетах: если функция является аналитической всюду в замкнутой области , за исключением конечного числа изолированных особых точек , лежащих внутри , то

36. Вычисление интегралов с помощью вычетов

Пусть функция аналитична в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением конечного числа особых точек , лежащих в верхней полуплоскости. При этих условиях мы рассмотрим способы вычисления интегралов

, .

Теорема 1. Пусть функция удовлетворяет перечисленным выше условиям и, кроме того, при , где и - достаточно большое число. Тогда

. (1)

Доказательство. Опишем полуокружность (ориентированную против часовой стрелки) радиуса с центром в точке так, чтобы все особые точки функции попали внутрь (рис. 149). В силу теоремы 1 § 6.13

. (2)

Так как при , то

, .

Переходя к пределу в равенстве (2) при , получим (1).

Теорема 2. Пусть функция удовлетворяет условиям, отмеченным в начале параграфа и равномерно относительно . Тогда

. (3)

Доказательство. Так же как при доказательстве теоремы 1, имеем

(4)

(функция имеет те же особенности, что и ).

Нам нужно доказать, что при интеграл стремится к нулю. Имеем

В силу условия теоремы при для всех ( ) и достаточно большого . Поэтому ( при )

Переходя к пределу в (4), при получаем (3).

Если функция имеет особенности на действительной оси, то специальным построением контура интегрирования можно вычислить соответствующие интегралы, если они существуют.