Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

ДУ первого порядка называется линейным, если его можно представить в виде , где P(x), Q(x) – заданные функции (функция y и ее производная или дифференциал dy входят в уравнение линейно, т.е. в первой степени и порознь друг от друга).

Один из способов решения – метод Бернулли (подстановка Бернулли).

Будем искать решение в виде y=UV, тогда Подставим в уравнение

.Выберем V так, чтобы , тогда .

Таким образом, решение данного линейного уравнения сводится к последовательному решению двух уравнений с разделяющимися переменными:

, решая его находим V, подставляем V во второе:

, из которого находим U.

Тогда решение первоначального уравнения имеет вид

Примеры (см. задание 4):

1) .

Пусть , тогда ,

, сведем его к двум уравнениям

1) ;

2) , решаем их последовательно.

а)

(ищем частный интеграл)

V = cos x.

б)

U = sin x + C,

Тогда решение первоначального уравнения имеет вид

.

2) , при .

;

; ;

а)

б)

 

– общее решение. Выделим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: ; ;