Вынужденные колебания

Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы (мы будем называть ее вынуждающей силой). Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по гармоническому закону

f = F₀cos(ωt). (161)

При составлении уравнения движения нужно учесть, кроме вынуждающей силы, также те силы, которые действуют в системе при свободных колебаниях, т. е. квазиупругую силу и силу сопротивления среды. Предполагая колебания достаточно малыми, будем по-прежнему считать силу сопротивления пропорциональной скорости. Тогда уравнение движения запишется следующим образом:

.

Разделив это уравнение на т и перенеся члены с х в левую часть, получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

(162)

где

– коэффициент затухания,

– собственная частота колебаний системы.

Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения мы уже знаем [см. функцию (155), являющуюся общим решением уравнения (154)]. Оно имеет вид

(163)

где , a₀ и α' – произвольные постоянные.

Остается найти частное (не содержащее произвольных постоянных) решение уравнения (162). Это решение выглядит следующим образом:

(164)

Функции (163) и (164) в сумме дают общее решение уравнения (162), описывающее поведение системы при вынужденных колебаниях. Слагаемое (163) играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний (рис. 54). С течением времени из-за экспоненциального множителя е^–βt роль слагаемого (163) уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя в решении лишь слагаемое (164).

Таким образом, функция (164) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний дается выражением

(165)

Она пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Для данной колебательной системы (определенных ω₀ и β) амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания φ также зависит от частоты вынуждающей силы:

. (166)

Рис. 54.

Вынужденные колебания

 

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота — резонансной частотой.

Чтобы определить резонансную частоту ω_рез, нужно найти максимум функции (165) или, что то же самое, минимум выражения, стоящего под корнем в знамена-теле. Продифференцировав это выражение по ω и приравняв нулю, мы получим условие, определяющее ω_рез,:

–4(ω₀² – ω²)ω +8β²ω = 0. (167)

Уравнение (167) имеет три решения: ω = 0 и . Решение равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное должно быть отброшено, как не имеющее физического смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, для резонансной частоты получается одно значение:

(168)

Подставив это значение частоты в (165), получим выражение для амплитуды при резонансе:

a_рез (169)

Из (169) следует, что при отсутствии сопротивления среды амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность. Согласно (168)резонансная частота при тех же условиях (при β = 0) совпадает с собственной частотой колебаний системы ω₀.

Рис. 55.

Резонансные кривые

 

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (или, что то же самое, от частоты колебаний) показана графически на рис. 46. Отдельные кривые на графике соответствуют различным значениям параметра β. В соответствии с (168) и (169), чем меньше β, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. При очень большом затухании (таком, что 2β² > ω₀²) выражение для резонансной частоты становится мнимым. Это означает, что при этих условиях резонанс не наблюдается — с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает (см. нижнюю кривую на рис. 55). Изображенная на рис. 55 совокупность графиков функции (169), соответствующих различным значениям параметра β, называется резонансными кривыми.

По поводу резонансных кривых можно сделать еще следующие замечания. При стремлении ω к нулю все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному f₀/ω₀², т. е. F₀/k Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы величины F₀. При стремлении ω к бесконечности все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия. Наконец, отметим, что чем меньше β, тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем «острее» получается максимум.

Из формулы (169) вытекает, что при малом затухании (т. е. при β<<ω₀) амплитуда при резонансе приближенно равна

a_рез≈

Разделим это выражение на смещение х₀ из положения равновесия под действием постоянной силы F₀, равное, как мы выяснили, f₀/ω₀². В результате получим:

[см. формулу (160)]. Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы той же величины, чтои амплитуда вынуждающей силы (это справедливо лишь при небольшом затухании).