Энергия упругой деформации

Упруго деформированное тело, например, растянутый или сжатый стержень, возвращаясь в недеформированное состояние, может, подобно сжатой или растянутой пружине, совершить работу над внешними телами, т. е. обладает некоторым запасом энергии. Поскольку эта энергия обусловлена взаимным расположением элементов тела, она представляет собой потенциальную энергию. Запас энергии деформированного тела равен, очевидно, работе, которая совершается внешними силами при деформации.

Вычислим энергию упруго растянутого (сжатого) стержня. При растяжении на стержень необходимо действовать силой, величина которой определяется выраже­нием (113). Работа этой силы равна

где буквой х обозначено абсолютное удлинение стержня, которое в процессе деформации изменяется от 0 до Δl. Сила f, соответствующая удлинению х, согласно (113) равна

Следовательно,

Умножая числитель и знаменатель полученного выражения на l, заменяя затем отношение Δl/l относительным удлинением ε и учитывая, наконец, что Sl дает объем стержня V, получим:

(121)

Введем в рассмотрение плотность энергии u, которую определим как отношение энергии ΔU к тому объему ΔV, в котором она заключена:

Поскольку в нашем случае стержень однороден и деформация является равномерной, т. е. одинаковой в разных точках стержня, энергия (121) распределена в стержне также равномерно с постоянной плотностью. Поэтому можно считать:

(122)

Выражение (122) дает плотность энергии упругой деформации при растяжении (или при сжатии). Аналогичным образом можно получить, что плотность энергии упругой деформации при сдвиге равна

(123)