Закон Стокса

При малых Re, т. е. при небольших скоростях движения [и небольших l; см. (105)], сопротивление среды обусловлено практически только силами трения. Согласно закону, установленному Стоксом, сила сопротивления в этом случае пропорциональна коэффициенту динамической вязкости η, скорости v движения тела относительно жидкости и характерному размеру тела l: f ~ ηlv (предполагается, что расстояние от тела до границ жидкости, например до стенок сосуда, значительно больше размеров тела). Коэффициент пропорциональности зависит от формы тела. Для шара, если в качестве l взять радиус шара r, коэффициент пропорциональности оказывается равным 6π. Следовательно, сила сопротивления движению шарика в жидкостях при небольших скоростях в соответствии с законом Стокса равна

f = 6πηlv (106)

На небольшой шарик, падающий вертикально в жидкости или газе, будут действовать три силы: 1) сила тяжести (4/3)πr³ρg (r — радиус шарика, ρ – его плотность), направленная вниз, 2) выталкивающая сила (4/3)πr³ρ₀g (ρ₀ – плотность жидкости или газа), направленная вверх, и 3) сила сопротивления 6πηrv направленная в сторону, противоположную направлению движения, т. е. вверх. Первые две силы по величине постоянны, третья пропорциональна скорости v. Поэтому по достижении некоторой определенной скорости v₀ выталкивающая сила и сила сопротивления в сумме уравновешивают силу тяжести, вследствие чего шарик начинает двигаться без ускорения, т. е. равномерно. Скорость v₀ равномерного движения легко найти из следующего условия:

.

Решая это уравнение относительно v₀, получим:

. (107)

Как видно из (107), скорость равномерного падения шарика в вязкой среде пропорциональна квадрату его радиуса. По причинам, выясненным выше, формула (107) годна только для малых шариков.

Измерив скорость установившегося (равномерного) падения маленьких шариков в жидкости, можно по формуле (107) найти вязкость жидкости η. Этим методом определения вязкости иногда пользуются на практике.