Дифференциал функции одной переменной

1⁰. Дифференциал и его геометрический смысл

Рассмотрим функцию , которая определена и непрерывна в точке и некоторой ее окрестности и дифференцируема в точке .

Функция дифференцируема, следовательно, существует ее производная

По теореме 1 § 11 имеем:

где – б/м функция при , следовательно,

где – б/м функция при ( ), большего порядка малости, чем . Таким образом, получили:

. (1)

Рассмотрим:

следовательно, функция сильнее стремится к нулю. Основной вклад в разложение (1) делает первое слагаемое.

– главная часть разложения приращения функции по .

Пусть приращение функции представимо в виде:

, (2)

где – б/м функция при ( ), большего порядка малости, чем . Покажем, что функция в этом случае дифференцируема. Действительно:

(т.к. стремится к нулю быстрее, чем ), следовательно, существует производная

Если функция представима в виде (2), то говорят, что функция дифференцируема.

Определение.Дифференциалом функции называется величина, пропорциональная бесконечно малому приращению аргумента и отличающаяся от соответствующего приращения функции на бесконечно малую величину более высокого порядка чем .

Дифференциал функции обозначается через или .

Необходимым и достаточным условием существования дифференциала функции в точке служит существование ее производной в этой точке, и тогда

Определение.Приращение независимой переменой называют ее дифференциалом , т.е.

Таким образом,

Дифференциал функции равен ее производной, умноженной на дифференциал независимой переменной, т.е.

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию дифференциала функции (рис. 21). Т.к. , то дифференциал измеряет отрезок .

Дифференциал функции в точке численно равен приращению ординаты касательной, построенной к графику функции в точке , соответствующему изменению аргумента от значения до значения .

Приращение функции изображается приращением ординаты точки линии (отрезок ). Поэтому разность между дифференциалом и приращением изображается отрезком , заключенным между линией и касательной к ней; длина этого отрезка является при бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем длина отрезка .

2⁰. Свойства дифференциала функции

Таким образом,

3⁰. Дифференциал сложной функции. Свойство инвариантности

Рассмотрим свойство дифференциала функции, вытекающее из правила дифференциала сложной функции.

Пусть и – непрерывные функции своих аргументов, имеющие производные по этим аргументам и . Если обозначить , то . Умножая обе части уравнения на , получим:

но , и значит,

т.е. дифференциал имеет такой же вид, как если бы величина была бы независимой переменной.

Дифференциал функции сохраняет одно и то же выражение, независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или функцией от независимой переменной.

Это свойство называется инвариантностью (т.е. неизменностью) формы дифференциала.

4⁰. Приближенное вычисление с помощью дифференциала

Пусть в точке производная функции отлична от нуля: . Тогда

где – б/м величина при более высокого порядка, чем .Но при указанном условии она будет б/м величиной более высокого порядка и чем и . Действительно, при имеем: