Экстремумы функции.

Экстремумами функции называются ее максимумы и минимумы.

Точка х₀ называется точкой максимума функции , если существует такая двухсторонняя окрестность точки х₀ , что для всякой точки х ¹ х₀ этой окрестности выполняется неравенство .

При этом число называется максимумом функции . Аналогично, если для всякой точки х ¹ х₀ из некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство , то х₀ называется точкой минимума, а число – минимумом функции .

Понятие экстремума связано с наличием окрестности точки х₀ из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних точках области определения.

Необходимое условие экстремума.

Если непрерывная функция имеет экстремум в точке х₀, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.

Необходимое условие экстремум не является достаточным, т.е. точки, в которых или же не существует, не обязательно являются точками экстремумов функции.

Точки, в которых необходимое условие экстремумов выполняется, называются критическими, или подозрительными на экстремум.

Критические точки входят в область определения функции вместе с некоторой своей окрестностью, в которой функция является непрерывной и дифференцируемой (за исключением, быть может, самой критической точки, где может не существовать). Критические точки, в которых , называются еще стационарными, в них возможен только гладкий экстремум функции . Критические точки, в которых не существуют, являются подозрительными на острый экстремум функции . Наличие или отсутствие экстремума функции в ее критической точке проверяется чаще всего по следующим двум признакам:

Первый достаточный признак экстремума.

Если при переходе через критическую точку х₀ (слева направо) производная изменяет свой знак, то в точке х₀ есть экстремум причем, это максимум, если знак меняется с плюса на минус, и это минимум, если знак меняется с минуса на плюс. Если при переходе через критическую точку х₀ производная не изменяет свой знак, то в точке х₀ нет экстремума функции .

Второй достаточный признак экстремума.

Пусть х₀ – стационарная точка Первый достаточный признак экстремума функции , т.е. и существует вторая производная , непрерывная в точке х₀.

Если >0, то х₀ – точка минимума функции ;

если <0, то х₀ – точка максимума функции ;

если =0, то вопрос об экстремуме в точке х₀ остается открытым.

Пример 1. Найти экстремумы функции .

Решение.

Находим .

Так как функция и ее производная определены и непрерывны при хÎ(-¥;+¥), то критическими точками являются только точки, в которых , т.е. х₁=0, х_2,3=±2. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы знакопостоянства ее производной (следовательно, на интервалы монотонности функции):

На основании первого достаточного признака экстремумов делаем вывод, что данная функция имеет три точки экстремумов:

x = –2 и х = 2 – точки минимумов, х = 0 – точка максимума.

Вычисляя значение функции в точках экстремумов, находим экстремумы функции и строим схематически график:

y_min= y(–2) = –1;

y_max= y(0) = 3;

y_min = y(2) = –1;

В данной задаче все критические точки являются стационарными , поэтому можно проверять в них и второе достаточное условие экстремумов. Для этого находим