Определение давления металла на валки при холодной прокатке

На основе работ Губкина [72], Кармана [57], Тринкса [79] и других авторов Целиков [80] дал аналитиче­ское определение удельного и общего давлений металла на валки при хо­лодной прокатке в зависимости о г коэффициента внешнего трения, вели­чины обжатия, диаметра валков, толщины прокатываемой полосы и ее на­тяжения при входе и выходе из валков.

Вывод Целикова сложен, что затрудняет пользование им. Ниже, в сокращенном виде, приводим этот вывод. Рассмотрим условия равновесия элемента abcd (фиг. 76, а), ограни­ченного цилиндрическими поверхно­стями обоих прокатных валков и двумя вертикальными плоскостями, расположенными на бесконечно малом расстоянии одна от другой, проектируя все действующие на элемент силы на направление прокатки.

Обозначим действие правой части полосы на элемент через , где — среднее нормальное напряжение сжатия, а — толщина полосы в се­чении bd , действие левой — через , а толщину полосы в сечении ac .Тогда, пренебрегая уширением и считая, что отношение ширины полосы к ее толщине весьма велико, получаем действие левой части полосы на выделенный .элемент:

Сначала рассмотрим условия равновесия элемента, находящегося слева от критического сечения, когда металл отстает от поверхности валков и имеет место скольжение.

Горизонтальная проекция сил, действующих на элемент со стороны валков, равняется:

где — удельное давление валков на металл;

— угол между касательной к дуге ab и горизонтальной плоскостью;

f — коэффициент внешнего трения между металлом и валками.

 

 

Фиг. 76. Аналитическое определение удель­ного давления по Целикову; а— действие сил на выделенный элемент в зоне дуги захвата; б—эпюры распределения удель­ного давления по дуге захвата

 

Сумма горизонтальных проекций всех сил, действующих на элемент, равняется:

Произведя сокращение и пренебрегая бесконечно малыми величинами второго порядка, получаем:

(36)

Решить это уравнение можно, зная зависимость между удельным давлением и напряжением , исходя из уравнения пластичности, основанного на теории разности главных напряжений:

(37)

где — главные нормальные напряжения;

— предел текучести;

— коэффициент, зависящий от величины третьего главного напряжения и равный 1 1,15 (по Лоде). Пренебрегая уширением, принимаем = 1,15

В рассматриваемом элементе, считая главными вертикальные и горизонтальные напряжения , получаем:

или

(38)

и

(39)

Подставляя значения в уравнение (37), получаем:

(40)

Дифференцируя, находим:

(41)

и полученные значения подставляем в уравнение (36).

Далее заменяем на ,делим обе части уравнения на , при­равниваем дугу захвата к хорде, т. е. угол берем равным половине угла захвата и после целого ряда других преобразований и интегрирования получаем уравнение в окончательном виде:

 

(42)

где

(43)

- угол трения

(44)

Обозначая средние нормальные напряжения сжатия в сечении полосы , действующие вдоль ее оси, через , удельное давление в точке А, определяем при помощи уравнения (40):

(45)

 

При отсутствии внешних сил со стороны входа полосы в валки (обычный случай прокатки) средние напряжения = 0 при . Следовательно, в этом случае и уравнение (42) несколько упрощается;

 

(46)


Согласно уравнениям (42) и (46) удельное давление в направлении от точки А к критическому сечению повышается по логарифмической кривой (см. фиг. 76, б).

Изучение условий равновесия элемента abcd, когда он находится справа от критического сечения, т.е. в зоне опережения, производится аналогично рассмотрен­ному выше с применением того же метода подсчета сил.

После преобразований получаем окончательное выражение для , исходя из условий равновесия элемента, расположенного справа от критического сечения:

(47)

где

(48)

(49)

Удельное давление (в точке В) можно найти по уравнению:

(50)

где — среднее нормальное напряжение (сжатия), действующее по оси прокатывае­мой полосы в сечении 1—1 (фиг. 76, а).

При отсутствии действия внешних сил (помимо распределенных на валках) со стороны входа полосы имеем = 0 и уравнение (47) принимает вид:

 

(51)

Следовательно, в зоне опережения, как и в зоне попятного движения, удельное давление, согласно уравнениям (47) и (51) от точки В по направлению к критичес­кому сечению повышается по логарифмической кривой (фиг. 76, б).

Анализируя уравнения (42) и (47), можно выявить зависимость удельного давления от коэффициента внешнего трения (фиг. 77, а), толщины полосы, обжатия (77, б), диаметра валков (фиг. 77, в) и натяжения переднего (фиг. 78, а), переднего и заднего (фиг. 78, б) концов полосы.

На фиг. 77 и 78 характер кривых удельного давления идентичен характеру кривых Кармана. Это дает основание предполагать, что и недостатки метода определения удельного давления, предложенного Карманом, присущи также аналити­ке кому методу Целикова.

По найденному удельному давлению определяем общее давление металла на валки, пренебрегая при этом изменением удельного давления по ширине полосы.

Суммируя удельные давления по дуге захвата, получаем выражение для вертикальной слагающей общего давления металла на валки:

 

 

где - средняя ширина прокатываемой полосы.

Фиг. 77. Эпюры распределения удельного давления по дуге захвата при прокатке широкой полосы (по Целикову):

а — с различным коэффициентом внешнего трения (обжатие 30%; = 2°50'; = 1,16%);

б —с различным обжатием ( =10; 20; 30 и 50%) при отсутствии упрочнения ( = 1 мм, = 200 мм, = 0,2); в — на валках различного диаметра ( = 200 мм, 400 и 700 мм) с обжатием 30% ( = 2мм, = 2,86 мм, =0,3)

Фиг. 78. Эпюры распределения удельного давления при прокатке широкой полосы с различным натяжением (по Целикову): а — при натяжении переднего конца полосы; б — при натяжении переднего и заднего концов полосы (обжатие 30%; коэффициент трения = 0,2)

— главное напряжение, направленное по вертикали;

— коэффициент, зависящий от величины третьего главного напряжения , нап­равленного по ширине полосы:

где и — удельные давления при входе и выходе металла из валков

 

Знак плюс относится к зоне отставания, знак минус — к зоне опережения.

Произведя сокращение, получаем:

 

(52)
Подставляя значение согласно уравнениям (42) и (47) и ,получаем выражение, проинтегрировав которое в пределах от до (зона отставания) и от до (зона опережения), устранив малые величины и сделав соответствующие замены и подстановки, получаем окончательное выражение для определения давления металла на валки:

(53)

 

(54)

(55)

(56)

 

 

В обычном случае прокатки, когда отсутствует натяжение полосы при входе и выходе из валков, напряжения =0 и =0 и, следовательно, уравнение (53) еще более упрощается:

(57)

Пренебрегая при небольшом коэффициенте трения и малых углах захвата вели­чиной , незначительной по сравнению с единицей, а также не учитывая при этом влияния упрочения металла , общее выражение можно представить в следующем виде:

(58)

При и , заменяя через , после подстановки и преобразований получаем окончательную формулу:

 

(59)

Разделив обе части этого выражения на , получаем формулу для определения среднего удельного давления:

 

(60)

Влияние внешнего трения и угла захвата при различных обжатиях на среднее удельное давление показано на диаграмме (фиг. 79, а).

Фиг. 79. Влияние коэффициента внешнего трения и угла захвата на величину среднего удельного давления (а) и на положение критического сечения (б) по Целикову при различных обжатиях: 1—10%; 2—20%; 3—30%; 4—40%; 5—50%

 

Предполагая, что положение критического сечения соответствует пересечению кривых, характеризующих величину удельного давления в зонах отставания и опе­режения, высоту этого сечения определяем при совместном решении уравнения (42) и (47), полагая

После преобразования получаем окончательное выражение для критического сечения:

 

(61)

При отсутствии натяжения полосы, когда и , получаем:

(62)

На фиг. 79, б представлена зависимость положения критического сечения (отношения ) от коэффициента внешнего трения и угла захвата ( ) при различных обжатиях.

Теоретические расчеты, произведенные Целиковым в подтвержде­ние изложенного выше аналитического вывода, дают, по его утвержде­нию, положительные результаты, близко сходящиеся с эксперименталь­ными данными других исследователей процесса холодной прокатки.