Ангармонические колебания

Гармонические колебания совершаются под воздействием квазиупругой силы F=-kx. В общем случае зависимость силы от смещения x может быть нелинейной и в разложении по степеням x следует учитывать квадратичные и более высокие степени x.

Ограничимся случаем, когда

где S — коэффициент ангармоничности.

Тогда уравнение движения принимает вид

или

 

Рис. 21.28

.

, (21.73)

где, как и ранее (см. § 21.3), .

Из теории дифференциальных уравнений следует, что решение полученного нелинейного дифференциального уравнения можно представить в виде

, (21.74)

где A, a и x0 — постоянные.

Рис. 21.29

Для гармонического осциллятора, колеблющегося по закону x=A cos wt среднее значение смещения , поскольку . Из (21.74) видно, что среднее значение смещения <x> для ангармонического осциллятора , т.е. отлично от нуля. Опуская громоздкие математические преобразования, можно показать, что , т.е. . Это связано с тем, что для ангармонического осциллятора зависимость возвращающей силы от смещения (рис. 21.29) такова, что в области положительных значений x значения силы меньше, чем в области отрицательных.

Рассмотрим некоторые примеры проявления ангармоничности.

Большинство физических характеристик кристаллических твердых тел можно найти, исходя из предположения, что атомы кристаллической решетки совершают гармонические колебания около положений равновесия. Однако эта модель не в состоянии объяснить такое явление, как тепловое расширение кристалла, поскольку при возрастании температуры и соответственно энергии атомов их положения равновесия (определяемые средним значением смещения ) остаются неизменными. В действительности же колебания атомов ангармоничны, что объясняется несимметричной формой кривой потенциальной энергии межатомного взаимодействия (см. рис. 10.1). Средняя энергия колебательного движения атома, с одной стороны пропорциональна квадрату амплитуды (формула (21.13)), а с другой – значению абсолютной температуры (формула (18.12)), поэтому A2~kT. Поскольку ~A2, то ~T. Таким образом, средние значения координат атомов увеличиваются пропорционально температуре, т.е. происходит тепловое расширение кристалла.