Вычисление площадей плоских фигур
Пусть функция y=f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь S под кривой y=f(x) на [ a, b] численно равна определенному интегралу 
, т.е.
S= .
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
S = 
(кв. ед.)
Пусть функция y=f(x) неположительна и непрерывна на отрезке [a, b]. Площадь S над кривой y=f(x) на [ a, b] отличается знаком от определенного интеграла , т.е.
S= - . (17)
Приведем формулу, применение которой упрощает решение задач на вычисление площадей плоских фигур.
Теорема. Пусть на отрезке [a, b] заданы непрерывные функции y=f1(x) и y=f2(x) такие, что 
. Тогда площадь S фигуры, заключенной между кривыми y=f1(x) и y=f2(x) на отрезке [ a, b] вычисляется по формуле
S= 
. (18)
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
Найдем координаты точек пересечения параболы 
и прямой 
, решив систему этих уравнений: (-1; -1) и (2; 2). На отрезке [-1; 2] 
. Воспользуемся формулой (18), полагая f2(x)=x, f1(x)=x2 – 2. Абсциссы точек пересечения линий зададут пределы интегрирования:
 |
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением r=f(
) и двумя лучами 
и 
вычисляется по формуле:
Пример. Найдём площадь 
области, ограниченной частью спирали r=a 
(a>0) при 
; 
и отрезком 
; 
оси 
(см. рис.).
 |
Применяя формулу, получаем:
Если область 
имеет границу, состоящую из двух отрезков лучей и (эти отрезки могут вырождаться в одну точку) и двумя линиями, заданными уравнениями в полярных координатах: r=f1( ) и r=f2( ), причём f1( 
f2( ), при всех 
(см.рис.)
 |
то площадь
области можно представить как разность двух площадей: S2— площади области, лежащей между лучами и , и линией r=f2( ), и S1— площади области, лежащей между лучами и , линией r=f1( ).
Каждую из площадей S1 и S2 можно подсчитать по формуле, так что получаем в итоге
Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x=(t) и y=y(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком [a,b] оси Ox выражается формулой
.