Свойства определенного интеграла

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

= , (3)

где — некоторое число.

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

= (4)

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых a, b, c:

= + . (5)

4. Если на отрезке [a, b], где a<b, f(x) g(x), то и , т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.

5. = - (6)

6. Теорема о среднем. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], (где a<b), то найдется такое значение [a, b], что

. (7)

Свойство 6 (теорема о среднем) при f(x) 0 имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором (a, b), площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием b-a. Число

(8)

называется средним значением функции f(x) на отрезке [a, b].