Метод введения новой переменной
Существуют два основных метода интегрирования: подстановка и «по частям».
Введение новой переменной в неопределенном интеграле производится двумя способами:
1) если 
, где 
- дифференцируемая функция, то
2) если 
где 
- монотонная, дифференцируемая функция новой переменной t, то 
.
Примеры.
1. 
Полагаем, 
находим 
получим:
2. 
Полагаем, 
отсюда 
Следовательно,
Найти интегралы:
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
Если подынтегральное выражение можно представить в виде дроби, в числителе которой стоит дифференциал знаменателя, т.е. дроби вида: 
то интеграл можно вычислить по формуле:
Примеры.
1. 
Найдем дифференциал знаменателя: 
; сравним полученный результат с числителем. Очевидно, что числитель надо помножить на 2; чтобы дробь не изменилась, помножим на 2 и знаменатель, получим:
2. 
Найдем 
В числителе стоит дифференциал знаменателя, поэтому получим:
Рекомендация. Если подынтегральная функция – дробь, то надо проверить, не является ли числитель дифференциалом знаменателя.
Найти интегралы:
28. 
,
29. 
,
30. 
,
31. 
,
32. 
,
33. 
,
34. 
,
35. 
.
В заданиях 31-35 после выполнения соответствующей замены в знаменателе появляется выражение вида 
, содержащее полный квадрат. Это делает возможным применение одной из формул VIII, IX, XII, XIII.
В случае, если знаменатель содержит квадратный трехчлен общего вида 
следует сначала выделить полный квадрат. Напомним, как это делается.
,
.
Примеры
1. 
Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат:
Полагая 
получим:
(Применили табличный интеграл IX).
2. 
Так как подынтегральное выражение – дробь, то проверим, не является ли числитель дифференциалом знаменателя. Найдем
Чтобы выделить это выражение в числителе, выполним следующие преобразования:
Заметим, что первый интеграл – табличный (III); для второго преобразуем знаменатель:
;
затем, полагая 
, найдем dx=dt и подставим в интеграл:
.
(Применяя табличный интеграл XII).
3. 
.
Преобразуем подкоренное выражение:
и, полагая х+3=u, dx=du, получим:
.
(Применена формула XIII).
4. 
Преобразуем подкоренное выражение:
Найти интегралы:
36. 
37. 
38. 
39. 
40. 
Вопросы и задания для самоконтроля.
1. Докажите формулы: XIV. 
XV. 
2. В чем отличие формул VIII и XIII таблицы интегралов?
3. Проведите вычисление интегралов в общем виде:
4. Объясните, почему в методе подстановки требуют, чтобы функция
была монотонной и дифференцируемой?
5. Найдите интегралы (если нет затруднений, можно устно):
