Сигналдарды аппроксимациялауда негізделген

идентификациялау әдісі

Егер де объекттің кірістегі және шығыстағы сигналдары кейбір аналитикалық өрнектермен аппроксимацияланатын болса, импульсті өтпелі функцияныда жийма интегралынан немесе Винер-Хопф теңдеуінен аналитикалық түрде алуға болады. Осы амалды іске асыруын қарастырайық. Объекттің кірістегі және шығыстағы сигналдары бақылау интервалында кейбір функцияларының сызықты комбинациясымен аппроксимацияланған. Ізделінетін импульсті өтпелі функцияны да осы функциялар жүйесімен аппроксимациялаймыз. Мысалы, сигналдар {pi(t)}ортогоналды полиномдар қатарларына жіктелген болсын

(18.6)

мұнда , ал pij - полином коэффициенттері.

Басқа сөзбен айтқанда сигналдар дәрежелі қатарлар түрінде көрсетіледі

(18.7)

мұнда коэффициенттері жіктеу коэффициенттерімен келесідей

байланысқан

Импульсті өтпелі функцияны да дәрежелі қатар ретінде іздейміз

(18.8)

(18.7) бен (18.8)-ды жийма интегралына қойып, келесіні аламыз

(18.9)

Бірдей дәрежедегі коэффициенттерін теңестіріп, (18.10)-ғы gi коэффициенттерін анықтауға алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз. Нәтижесінде:

Комплексті кеңістікте аппроксимациялау есебі, яғни Лаплас бойынша жеңіл түрленетін ортогоналды функциялар қатарларымен көрсету қызық болып табылады. Осындай функциялар болып, мысалы, L(t) Лагерр функциялары табылады. Бұл кезде келесі бар

(18.10)

(18.10) өрнектер комплексті кеңістікте келесідей жазылады

ал объекттің беріліс функциясының түрі

{an} және {ck} коэффициенттері арасында келесідей байланыстар бар

{bi} мен {di} арасындағы осы сияқты қатынастарды да алуға болады.

Егер де объект кірісіне берілетін сигнал үзікті–тұрақты сипат немесе функциясымен жеткілікті дәлдікпен аппроксимацияланатын болса, идентификациялау алгоритмі қарапайымдалады. Тұрақты мәні бар кірістегі сигналдың j-ші интервалы үшін келесіні жазуға болады

, мұнда h(t) - өтпелі функция.

Белгілі ортнормалданған функциялар жүйесі бойынша осы функцияны жіктейік

Бұл кезде шығудағы сигналды да осы функциялар жүйесімен жіктеп, келесіні жазуға болады

, осыдан аламыз:

Егер де кірістегі сигнал үзік-сызықты функциямен аппроксимацияланатын болса, осы амалды қолдануға болады.

Әдетте аппроксимациялайтын функцияларды таңдағанда олардың аз санында жақсы жуықтауды алу талабына сүйемелденеді. Идентификациялау есебін шешкенде кең қолданылатын кейбір полиномдарды атап кетейік.

Бастапқы Лагерр полиномдары (0, ∞) интервалында ω(t) = e-tсалмағымен ортонормалды болып табылады. n-ші ретті Лагерр полиномының түрі

(18.11)

бірінші үш полиномдар үшін өрнектері келесі болады

Келесі шарт орындалатындай

Лагерр полиномдары ортогоналды болады.

Нормалдыралғаннан кейін (18.21) өрнегі келесідей жазылады:

Аппроксимациялау функциялардың тағы да маңызды түрі [-1,1] интервалында ортогоналды болатын Лежандр полиномдары болады. n–ші Лежандр полиномы келесі өрнекпен бейнеленеді

Лежандрдың бірінші полиномдарының түрі

Чебышев полиномдары [-1,1] интервалында салмағымен ортогоналды. n -ші ретті Чебышев полиномының түрі

Бірінші полиномдары үшін өрнектер

f(x) функцияны Чебышев полиномдары жүйесі бойынша жіктегендегі коэффициенттері

.

Кез келген функцияны Чебышев полиномдарымен аппроксимациялап, қателіктің біртекті таратылуына және оның интервал соңғы шегінде жиналмауына қол жеткізуге болады.

19 дәріс. Сызықты емес объекттерді идентификациялау

Дәрістің мазмұны:

- сызықты емес объекттерді идентификациялаудың ерекшеліктері; сызықты емес объекттерді идентификациялаудың есептерін шешу әдістері.

Дәрістің мақсаты:

- сызықты емес объекттерді идентификациялаудың әдістерін оқу.

 

19.1 Сызықты емес динамикалық объекттерді идентификациялаудың ерекшеліктері

Статикалық та, динамикалық та процестердің міндетті түрде есепке алынатын сызықты емес сипаттамалары болуы мүмкін. Алдында қарастырғаннан сызықты болатын динамикалық объекттерді идентификациялау өте күрделі есеп екеніне көзіміз жетті. Ал, сызықты емес динамикалық объекттерді идентификациялағанда қиыншылықтар одан да зор болады.

Қиыншылықтарының негізгісі келесіде болады: сызықты емес объекттің өтпелі процесі кірістегі сигналдың тек қана түрінен емес, сонымен бірге амплитудасынан да тәуелді; активті идентификацияны өткізгенде бұл жағдай сынап көруге арналған сигналды таңдауға күрделі және қайшылық талаптарын орнатады.

Екінші кедергі – объекттерді бейнелейтін сызықты емес операторларының түрлерінің шексіздік саны.

Қазіргі кезде ұсынған сызықты емес динамикалық объекттерді идентификациялау әдістері осы және тағы да басқа жағдайлар себебінен әзірше практикалық қолданудан алыс болады.

 

19.2 Объекттердің сипаттамаларын сызықтандыруда негізделген әдістер

Сызықты емес объекттерді идентификациялау әдістері ішінде сызықтандыру әдістері ең дамыған әдістер болып табылады. Осы курста біз бірнеше рет осындай есептермен кездестік. Әдістің идеясын еске салайық: сызықты емес тәуелділіктер сызықты тәуелділіктермен алмасады.

Объект теңдеуі жалпы кезде келесі түрде болады:

L[y(t)] =f[x(t)],

мұнда L – сызықты дифференциалдық оператор.

f(x) функциясын x0 жұмыс нүкте аймағында дәрежелік қатарға жіктейміз

f(x) = a0 + a1(x - x0) + a2 (x - x0)2 + …

Айнымалылардың өсімшелерін және y0=f(х0) деп белгілеп (1) операторын өсімшелер арқылы келесідей аламыз

сонымен бірге сызықтандыру коэффициентіK=a1.

Қарапайымдылық және кейбір кезде жеткілікті дәлдік осындай әдістердің дамуына себеп болды. Бірақ көбінесе объектті сызықты жуықтау жеткілікті болмауы мүмкін.

 

19.3 Априорлы белгілі түрлері бар сызықты емес функцияларын идентификациялау

Егер де сызықты емес түрі туралы априорлы ақпарат болса, «ақиқат» сызықты емес функциялардың параметрлерін идентификациялауға болады. Осындай жағдайда келесі амалдардың біреуін қолдануға болады.

а) Бастапқы аналитикалық өрнекте айнымалыларды алмастырып, содан кейін сызықтандырып, объекттің сызықты моделін алуға болады.

Келесі өрнекпен бейнелетін процесті қарастырайық

(19.1)

Бұл процесті идентификациялау үшін әуелі келесідей жаңа айнымалыларды кіргізейік:

(19.2)

Нәтижесінде аламыз

(19.3)

Енді оның айнымалыларының өсімшелері өте аз деп есептеп, (3) теңдеуді сызықтандырамыз

(19.4)

Келісідей белгілерді енгізіп

(19.5)

аламыз

(19.6)

b1,b2,…,bs коэффициенттерін сызықты регрессия әдісімен идентификациялауға болады.. Келесіні есепке алып, а5 –ті анықтауға болады, себебі және өлшеулері бар. а5 өрнегін (19.5) формуласына қойып, аламыз. , мүшелерін , үшін (19.5) өрнектерден келесі түрде табуға болады. шамасын өрнегінен табамыз, -ті (1 9.5)-ке қойып тікелей анықталады.

Осы бейнеленген (19.1) процесті идентификациялау нұсқасы бойынша сызықты емес тәуелділіктердің көп деген түрлерін идентификациялауға болады.

б) Келесі түрдегідей экспоненциалды өрнектермен берілетін

процестерді идентификациялау үшін, оларды логарифмдеу жолымен келесі түрдегі байланыстарға түрлендіреміз .

Келесідей белгілеп, аламыз. Мұнда А және В – орта квадраттар қателігін минимумдау әдісімен жеңіл есептеледі.

Сол сияқты келесі түрдегі процестерде логарифмдеуді қолданып, келесі өрнекті аламыз . Одан а және b (19.7) теңдеудегі сияқты есептелінеді.

Бірақ кей кезде мұндай әдіс жарамайды, сондықтан оны қолдану үшін кейбір қосымша ақпарат керек. Мысалы, бұл әдісті келесі жүйеге

,

қолдана алмаймыз. Мұнда идентификациялау керек.

Кіші ауытқулар әдісін қолданып, келесіні аламыз: . Мұнда bкоэффициентін орта квадраттар критерий көмегімен идентифи-кациялауға болады6 бірақ үшін шешімді ала алмаймыз. Әрине, екінші және одан жоғары дербес туындыларды қолдануға болады (немесе екінші және келесі ретті ауытқуларды), бірақ практикада оның мәні жоқ, себебі туындылардың маңыздылығы төмен, әсіресе өлшеулердің шуы болса.

 

19.4 Жалпы түрдегі сызықты емес объекттерді идентификациялау

Қарапайым бір өлшемді кезде модель сызықты емес дифференциалды теңдеумен көрсетіледі

-сызықты емес аргументтердің скалярлы функциясы, бақылаулар негізінде оны идентификациялау керек. Векторлы түрде бұл теңдеу келесідей жазылады: мұнда , F - екі аргументтің векторлы функциясы.

бақылауларды келесі түрге келтіреміз (бастапқы функцияларды дифференциалдап, ол үшін тегістеу аппаратын қолданамыз).

 

19.4.1 Функционалдық модельдер

Белгісіз параметрлері бар белгілі функция болсын. Бұл кезде

теңдеулер жүйесі берілген бастапқы шарттарда және идентификацияланатын параметрлердің белгілі мәндерінде сандық әдістерімен интегралданады (мысалы, Рунге-Кутта әдістерімен)

Алынған шешім бақылаулармен салыстырылады және сәйкессіздік функциясы алынады

Осы функцияны минимумдау есебі идентификациялау есебін шешеді.

Егер де модель құрылымы дифференциалданатын функциялар класынан таңдалынған болса, бұл есепті трансценденттік теңдеулер жүйесі шешеді (мұндай жүйелерді де шешу оңай емес):

,

мұнда [,] – скалярлы көбейтінді.

Кері жағдайда минимумдаудың ізденіс әдістерін қолдануға болады. Ол үшін келесі рекурренттік процедура құрылады

мұнда - іздеу алгоритмімен анықталатын қадам.

Ізденісті іске асыру үшін біздерге әртүрлі -ларда F функциясының тек қана мәндері керек, сондықтан модельді аналитикалық бейнелеу класынан басқа кластарда да құруға болады (сондықтан осы амал функционалды деп аталады).

 

19.4.2 Бағаланатын параметрлері бойынша сызықты болып табылатын модельдер

Олар функционалдық модельдердің жеке түрі және ізделінетін функцияны берілген функциялар жүйесі бойынша жіктеу нәтижесінде құрастырылады

мұнда - берілген функциялар жүйесі, құрылымдық идентификация қадамында анықталады. Аппроксимацияны, мысалы, полиномдар көмегімен өткізуге болады. Бірақ барлық кезде де параметрлері анықталатын сызықты емес идентификацияланатын функцияның тек қана кейбір спецификалық түрін болжап, идентификацияны өткізуге болады.

Коэффициенттерді іздеу есебі белгілі әдістермен шешіледі.

20 дәріс. Алдын ала өңдеу алгоритмдері және сәйкестікті бағалау

 

Дәрістің мазмұны:

- зерттелетін объекттің қасиеттерін бағалау; модельдің нақты объектке сәйкестік дәрежесін бағалау.

 

Дәрістің мақсаты:

- объекттің стационарлық пен сызықтығын бағалау алгоритмдерін игеру; модельдің нақты объектке сәйкестік дәрежесін бағалауды үйрену.

20.1 Объекттің стационарлығы мен сызықтығын бағалау алгоритмдері

Идентификациялау алгоритмдерді дұрыс қолдану үшін объекттің келесідей – стационарлық/стационарлы еместік, сызықтық/бейсызықтық сияқты қасиеттерін алдын ала бағалау қажет болады. Бұл есептер мәліметтерді алдын ала өңдеу алгоритмдері көмегімен шешіледі. Уақыттың белгілі интервалдарында өлшенген объекттің кірісіндегі және шығысындағы сигналдарының квантталған мәндерінің массивтері жалпы кезде бастапқы мәліметтер болып табылады. Мүмкін болатын тренд (стационарлық емес) пайда болатындай стационарлыққа тексерілетін іске асырудың ұзындығы жеткілікті болуы керек.

Зерттелу объекттің кірісіндегі стационарлы кездейсоқ сигналына оның шығысында стационарлы сигнал сәйкес болса, объект стационарлы деп есептелінеді. Егер де кез келген t1,…,tn және τ үшін (x[t1+τ],…,x[tn+τ]) кездейсоқ векторының таратылуы τ –дан тәуелсіз болса, кездейсоқ процесі қатал стационарлы болады. Нақты қолданбалылардың көбісі үшін процестің әлсіз стационарлығын, яғни оның орта мәндері мен автокорреляциялық функциясы уақыттан тәуелсіздігін тексеру жеткілікті.

Стационарлықты тексеру алгоритмі:

1. Процестің стационарлығын бағалау үшін процестің іске асыруын бірдей ұзындығы бар n интервалға бөледі. Әр n-ші интервал үшін орта мәндері мен орта квадратын есептейді, алынған мәндерді интервалдар нөмірлерінің өсуі бойынша орнатады

<1x>, <2x>, … , <nx>, <1x2>, <2x2>, … , <nx2>,

мұндағы < > - уақыт бойынша орталықтандыру.

2. Осы тізбектердің әр қайсысын белгілі сериялар және трендтер әдістерімен немесе функционалды қатарларға жіктеу жолымен трендке сынайды.

3. Осы әдістерді қолданғанда алынған нәтижелерді болжау негізінде маңыздылықтың 5%-дық деңгейінде объекттің стационарлығы туралы шешім қабылданады.

Әуелі стационарлыққа кірістегі сигналдың іске асырулығы тексеріледі. Егер де ол стационарлы емес болса, әрі қарай статистикалық өңдеу жалғастырылмайды. Кері жағдайда стационарлыққа шығыстағы сигналдың іске асырулығы тексеріліп, объекттің стационарлығы немесе стационарлы еместігі туралы пікір ұсынылады.

Объекттің сызықтығы туралы пікір іске асырулардың таратылу заңдарын бағалау негізінде төмендегі ережелер бойынша жасалады:

- егер де кірудегі сигнал нормалды заң бойынша таратылған болса, онда шығудағы сигналдыңда заңы нормалды болатыны сигналдың сызықты жүйеден өту теориясынан белгілі;

- егер де кірістегі сигналдың таратылу заңы нормалды болмаса, онда сызықты динамикалық объекттің шығудағы сигналды нормаландыратын қасиеті бар;

- сызықты емес жүйеден өткенде нормал заңы бойынша таратылған сигнал өзгереді.

Аталған оқиғалар келесі кестеде көрсетілген:

Сигналдың таратылу заңы Объект типі
Кірістегісигнал Шығыстағысигнал
Нормалды Нормалды Сызықтық
Нормалды Нормалды емес Сызықтық емес
Нормалды емес Нормалды Сызықтық

Сонымен, объекттің сызықтығын бағалау есебі бастапқы іске асырулардың таратылу заңдарының нормалды екендігін тексеруге келтіріледі. Егер де объекттің кірісіндегі және шығысындағы сигналдардың таратылу заңдары нормалды болмаса, объекттің сызықтығы немесе сызықты еместігі туралы шешім қабылдай алмаймыз. Бұл кезде объекттің сызықтығын бағалау идентификациялау қадамында өткізіледі.

Таратылу заңының нормалды болатыны математикалық статистиканың стандартты әдістері көмегімен өткізіледі.

 

20.2 Модельдің нақты объектке ұқсастық дәрежесін санды бағалау

Математикалық модельді құрастырғанда тек қана негізгі маңызды факторларды есепке алып, басқаларын алып тастаймыз. Негізгі факторлар деп шығудағы айнымалыға басымдылық әсер ететін кірістерді есептейді. Әрине, алынған математикалық бейнелеу әр кезде де нақты объекттен төмен болады, ол объекттің тек қана белгілі есепті шешуге қажетті болатын негізгі заңдылықтарын көрсетеді. Сонымен бірге, бір объекттің әртүрлі есептерін шешу үшін әртүрлі математикалық бейнелеулерін құрастыруға болады.

Сонымен бірге, объекттердің физикалық табиғаттары әртүрлі болғанымен, әртүрлі процестердің де математикалық бейнелеулері бірдей болуы мүмкін. Мысалы, әртүрлі физикалық, механикалық, химиялық, т.б. жүйелер бірдей дифференциалдық теңдеулермен сипатталуы мүмкін. Сонда модельдің объектке изоморфтылығы (сәйкестігі, ұқсастығы, адекваттылығы) туралы айтуға болады. Біздер идентификациялау әдістері көмегімен құрастырылған модельдерді қарастырғандықтан, «идентификациялау дәрежесі» деген терминді қолданамыз.

Нақты процестер көп өзара байланысқан айнымалылары бар күрделі объекттер болып табылады және ол байланыстардың барлығын есепке алу мүмкін емес. Сондықтан қандай және неше айнымалыларды модельге енгізу керек, ал қайсысын есепке алмауға болады деген сұрақ туады. Әр факторды модельге енгізу олардың іске асыруларын алып, статистикалық өңдеу зерттеулерінің үлкен көлемімен байланысты, бұл жұмыс уақыт пен құралдардың көп шығынын талап етеді. Идентификациялау дәрежесі белгілі есепті шешуін қамту керек. Басқа сөзбен айтқанда, объекттің мүмкін болатын бейнелеулерінің барлық түрлерінен бір жағынан, оны іске асыру жағынан максималды қарапайым, екінші жағынан қойылған есепті шешуге мүмкіндік беретін түрін таңдау керек. Мысалы, егер де шығудағы айнымалылардың дисперсиясымен сипатталатын бір өндірілетін өнімнің сапасы туралы әңгімелесек, әрине, идентификациялау есебінің шешімі ретінде алынған модель шығудағы айнымалыны осы дисперсияның сипаттайтын дәлдігімен есептеуге мүмкіншілік беруі керек.

Шығудағы айнымалыны анықтау дәлдігін шартты математикалық күтімнің дисперсиясы бойынша анықтайды, яғни шартты дисперсияның (қалдық дисперсияның) математикалық күтімі бойынша. Сондықтан, бұл сипаттаманы объектілердің модельдерінің сәйкестіктер дәрежесінің сипаттамасы ретінде қолдануға болады. Бірақ, дисперсия нөлден шексіздікке дейін мәндерді қабылдайды, ол практикалық еспетеулерге ыңғайсыз. Осы жағдайды есепке алып, сәйкестік дәрежесінің сандық мөлшері 0-ден 1-ге дейін мәндерді қабылдау талабын қоямыз (0 - толығымен сәйкес емес, 1 - толығымен сәйкес, яғни функционалдық тәуелділік). Сондықтан, сәйкестік дәрежесінің мөлшері ретінде шығудағы y(t) айнымалының кірудегі x(t) айнымалы бойынша шартты математикалық күтімінің дисперсиясының шығудағы y(t) айнымалының дисперсиясына қатынасты алады.

Бір өлшемді жағдайда y(t)-тің x(t) мәндерінің жиындары бойынша шартты математикалық күтімі орта квадраттар ауытқуды минимумдайтын критерийі бойынша оптималды оператор болады

(20.1)

Онда (20.1) модельдің

объектке сәйкестігінің бағасы ретінде келесі қатынасты алады

, (20.2)

мұнда - t аргументінің сәйкес мәндеріндегі, яғни барлық s T аргументтеріндегі х мәндері бойынша, шығудағы y(t) айнымалының x(t) кірудегі айнымалының мәндері бойынша шартты математикалық күтімі; D{y(t)} – шығудағы y(t) айнымалының дисперсиясы.

(20.2)-де анықтама бойынша

яғни t уақытындағы шығудағы y(t) айнымалының барлық s үшін кірудегі x(s) функциясының мәндерінің жиыны бойынша регрессия бетінің y(t) математикалық күтімінен ауытқуының квадратының математикалық күтімі.

Шартты математикалық күтімнің дисперсиясы y(t) барлық s T үшін x(s) кірістің мәндерінің барлық жиынының әсерінен пайда болатын шығудың жалпы дисперсиясының бөлігі.

Жалпы дисперсияны келесідей көрсетуге болады

(20.3)

Сонда

(20.3) есепке алып, (20.2) -ден жазамыз

.

Сонда

(20.4)

- модельдің объектке сәйкессіздік дәрежесінің сандық сипаттамасы.

(20.2), (20.4 ) анықтамалардан, (20.3) есепке алып, келесіні жазамыз

Шынында да, егер модель y(t)-пен байланыспаған немесе әлсіз байланысқан есепке алынатын x(t) ақпарат негізінде құрастырылса, (бұл жағдайда D{M{y/x}} мәніне қарағанда мәндері өте үлкен болады), онда сәйкестік дәрежесі өте кіші немесе нөл болады, ал сәйкессіздік дәрежесі өте үлкен немесе 1-ге тең болады.

Сонымен, сәйкестік дәрежесінің мөлшері объект туралы біздің біліміміздің дәрежесін, оны формалдау дәрежесін бағалайды.

 

Әдебиеттер тізімі

1. Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. – М.:

Энергия, 1979.

2. Гроп Д. Методы идентификации систем управления. – М.: Мир, 1979.

3. Сейдж А., Мелса Дж. Идентификация систем. – М.: Наука, 1974.

4. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры.- М.: Сов. Радио, 1980.

5. Рабинер Л., Голд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов – М., Мир,1978.

6. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. – М.: Мир, 1983

7. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. – М.: Наука, 1984.

8. Химмельблау Д, Анализ процессов статистическими методами. – М., Мир, 1973.

9. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. – М., Мир, 1986.

10. Хартман К., Лецкий Э., Шефер В. и др. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. – М., Мир, 1977.

11. Серов, Е.П., Корольков Б.П. Динамика парогенератора. - М., Энергия, 1977.

12. Плютинский В.И., Погорелов В.И. Автоматическое управление и защита теплоэнергетических установок АЭС. - М., Энергоатомиздат, 1983.

13. Кафаров В.В., Перов В.А., Мешалкин В.П. Принципы математического моделирования химико-технологических систем. - М., Химия, 1976.

14. Профос П. Регулирование паросиловых установок.

15. Лазарев Ю. MatLAB 5.x – К.: Изд.группа ВHV, 2000.

16. Бенькович Е., Колесов Ю., Сениченков Ю. Практическое моделирование динамических систем. – СПб.: БХВ_Петербург, 2002.

17. MATLAB 6.5 SP1/7.06Simulink 5/6 в математике и моделировании. – М7: СОЛОН-Пресс6 2005.

18. Ибраева Л.К. Основные приемы работы в среде MatLab. Методический практикум – Алматы;АИЭС, 2004.

19. Ибраева Л.К. Моделирование и идентификация объектов управления. Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности «Автоматизация и информатизация систем управления» - Алматы: АИЭС, 2005.

20. Ибраева Л.К. Моделирование и идентификация объектов управления.

Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов специальности «Автоматизация и управление» - Алматы: АИЭС, 2007.

21. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. – М.: Физматгиз, 1960.