Основные понятия фрактальной геометрии

В последние годы Б. Мандельбротом [27] и другими авторами [28-31] для описания разветвленных объектов разработана новая фрактальная геометрия. Б. Мандельб-рот ввел термин «фрактал» и общее понятие фракталов. Название «фрактал» происходит от латинского fractus, что означает дробный, ломаный. В русском языке иностран­ные слова «фракционная» (дробная) и «фрактура» (перелом) произошли от этого латинского слова. Поэтому понятие фрактала связывают с шероховатой поверхно­стью рассматриваемых физических объектов или с изло­манными формами их атомной структуры, обладающими свойством самоподобия. В основе этого свойства фрак­талов содержится одна важная особенность: фрактальные объекты самоподобны, т. е. их вид не меняется в любом пространственном масштабе. Хотя эта особенность явля­ется упрощением действительности, она значительно увеличивает глубину нашего описания природы. Это можно оценить по достигнутым результатам фрактальной физики. Можно сказать, что идея фракталов была выдви­нута вовремя: само понимание мира шло навстречу фракталам, ибо мир по своей структуре (форме) является фрактальным, а по сущности (содержанию) — электри­ческим.

Заметим, однако, что фрактальная геометрия как мате -матическая наука имеет ограничения на исследование объектов и изучает формы в таких системах, как бере­говые линии, горные цепи, турбулентность, формы обла­ков, молний, деревьев и т. д. Основой фрактальной гео­метрии является аффинная геометрия. В этой работе не используются никакие специальные сведения из аффин­ной геометрии, но приведем характеристику этой науки, данную в [32]: «Аффинная геометрия — это то, что оста­нется от евклидовой геометрии, если из нее убрать практически любую возможность измерения длин, пло­щадей, углов и т. д.». Дело в том, что понятие аффинного

пространства предполагает, что это пространство лишено метрики, т. е. способа измерения длин и углов. В нем оп­ределен только конкретный вид правил образования сум­мы элементов и произведения элемента на число. При этом элементы аффинного пространства принято в узком смысле называть векторами, а само пространство — то­чечно-векторным, ибо ввели в рассмотрение еще и точки. Ведь точка — основное понятие в геометрии, которую изучают в средней школе, а все ее геометрические об­разы можно понимать как множества точек; в то же вре­мя в определении векторного пространства точки вообще не фигурируют. Поэтому такое множество векторов и точек аффинного пространства ближе к тому простран­ству, которое изучается в курсе элементарной геометрии, хотя и не будет еще полностью совпадать. Аффинное пространство станет вполне идентичным (во всяком слу­чае для двух- и трехмерного случаев) обычному про­странству лишь после введения в нем соответствующей метрики. В обычном трехмерном пространстве метрика вводится как произведение длин векторов, умноженное на косинус угла между ними. Тогда такое векторное про -странство с введенной метрикой называется евклидовым пространством.

Отсюда видим главное отличие фрактальной геомет­рии: она не занимается изучением обычных объемных тел и, конечно, изменением их объема; аффинная геометрия также не занимается природой фрактальных форм. Мы воспользуемся только ее названием и будем в дальнейшем усовершенствовать математический аппарат в качестве инструмента для изучения физических явлений. Здесь истины ради следует сказать, что физическое начало изучения формообразования природных объектов поло­жил И. Кеплер (см. п. 1.2) в работе «О шестиугольных снежинках», на которую ученые не обращали внимание почти 400 лет. Теперь мы более сведущи и более подго­товлены, поэтому перед нами открываются большие воз -можности фрактального анализа.

Сущность фрактального анализа заключается в том, что в нем рассматриваются совокупности точек в каче­стве основных объектов. Эта особенность аффинной гео­метрии согласуется с фундаментальной структурой фрактальной физики, в которой частицы, электроны, ядра представляются электрическими зарядами, а например, Галактика — как совокупность заряженных звезд типа Солнца. Положение существенно изменилось после того, как была установлена новой наукой о мироздании связь фрактальных структур и их размерностей с энергетиче­скими характеристиками системы. В последнее время были найдены формы описания всех эффектов взаимо­действий объектов единой, электромагнитной природы, для которых пространство основных состояний описыва­ется в терминах фракталов. При развитии теории фрак­талов обнаружены новые, неизвестные ранее закономер­ности.

Действительно, фрактальная физика — это наука о ми­ре в целом — обнаружила и установила, что все явления и процессы имеют единое фундаментальное взаимодей­ствие, электромагнитное по своей сущности, и проявля­ются они в форме различных фрактальных, электриче­ских структур, которые могут быть и не самоподобны. Поэтому пространство взаимодействий физических объ­ектов описывается как евклидовой, так и аффинной гео­метриями. Такое различие связано с тем, что при анализе процессов микромира значения приращений простран­ства не следует, в отличие от евклидовой геометрии, вы­бирать произвольно. Мы знаем (см. Введение, п. 4), что микроструктура пространства образуется комбинациями элементарных электрических зарядов. Вот почему новая наука описывает адекватно реальности взаимодействия частиц микромира в аффинном пространстве, где отсут­ствует измерение длин и площадей. Кроме того, достиг­нутые фрактальной физикой результаты указывают на то, что фрактальная геометрия не знала о них и поэтому не могла изучать эти физические объекты ввиду своей огра -

ниченности. Как это часто бывает, многие работы по фрактальной геометрии следует рассматривать скорее как конспективные заметки или краткие тезисы по вопросу определения фрактальной размерности разветвленных объектов, ибо в них не просматривается глубокой связи с энергетическими показателями взаимодействующих сис­тем. Прилагаемый список литературы дает возможность достаточно быстро войти в рассматриваемую проблему. Для читателей, желающих ознакомиться с первоначаль­ными понятиями и современной точкой зрения на теорию фракталов, имеются хорошие обзоры [30, 40].

Новая физика использовала введенное геометрией по­нятие фрактальной размерности D и расширила ее при­менение для различных материальных объектов [3]. Фрактальная размерность выступает в качестве количе­ственной меры структурности этих объектов. Для опре­деления D вспомним понятия обычной евклидовой гео­метрии. Рассмотрим сплошной круговой или сферический объект массой М и радиусом R. Если объект круговой или сферический, то при увеличении радиуса объекта его масса увеличивается в R² или в R³. Эту связь массы и длины мы можем записать в виде М ~ R^E, где Е — раз­мерность (число координат) пространства. Объект назы­вается фрактальным, если он удовлетворяет соотношению М ~ R^D, где D меньше пространственной размерности Е. Это указывает на то, что фрактальная геометрия описы­вает объекты с дробной размерностью пространства.

return false">ссылка скрыта

Однако в реальных физических системах фрактальная размерность D выполняется не для любых масштабов длины, а ограничивается верхними и нижними пределами фрактальных объектов, которые являются не самоподоб­ными. Поэтому вводятся два совершенно различных значения размерности: локальное (справедливое для мас­штабов, меньших некоторого критического) и глобальное (справедливое для масштабов, больших критического). Эти размерности принципиально отличаются, поэтому в

разных физических задачах нужно пользоваться разными определениями фрактальной размерности.

Например, глобальная размерность (по-другому, внеш­няя размерность) кривой фрактального типа на плоскости изменяется от 1 до 2, где 1 — размерность прямой, 2 — размерность плоскости. Локальная (по-другому, внутрен­няя размерность) для этой кривой на плоскости изменя­ется от 1 до бесконечности. Эти размерности — глобаль­ная и локальная — совпадают только для тривиального случая гладкой кривой. Тогда становится понятным, что глобальная размерность фрактальной кривой изменяется от размерности гладкого объекта до размерности про­странства, а локальная — от размерности гладкого объ­екта до бесконечности.

Теперь обсудим фрактальную размерность на примере регулярных, самоподобных фракталов. Рассмотрим сна­чала отрезок единичной длины, который разбит на N равных кусков длиной b, так что N = 1/b. По мере уменьше­ния b значение N растет линейно, что и следовало ожи­дать для одномерной кривой. Аналогично, если мы раз­делим квадрат единичной площади на N равных квадра­тиков со стороной b, то получим N = 1/b² — ожидаемый для двумерного объекта результат. Можно утверждать, что в общем случае N = 1/b^D, где D — размерность объ­екта. Следовательно, логарифмируя обе части этого ра­венства, можно выразить размерность в виде D = logN/log(l/b), которая не зависит от основания логариф­ма.

Теперь применим эти соображения к так называемой кривой Коха (рис. 2.1).

На рис. 2.1. представлены три стадии (а) — (в) форми­рования кривой Коха. На каждой стадии формирования этой кривой замена средней трети каждого сегмента про-изводится в направлении, которое увеличивает площадь под кривой. Мы видим, что при каждом уменьшении дли-ны b в три раза число сегментов увеличивается в четыре раза. Таким образом имеем N = 4 и b = 1/3, и фрак-

тальная размерность треугольной кривой Коха равна D = ln4/ lnЗ = 1,2618... Это выражение является инвариантом, то есть остается неизменным для любого числа k-звеньев (сегментов) кривой, ибо D = ln4k/ln3^k = 1,2618...

 

 

 

Рис. 2.1. Формирование кривой Коха

Здесь для удобства определения размерности исполь­зован натуральный логарифм. Ниже на конкретных при­мерах рассмотрим применение фракталов для описания физических объектов, что позволит уточнить понятия их глобальной и локальной размерностей и показать большие возможности фрактального анализа.