ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ

1. Найти зависимость частоты колебаний от амплитуды для системы, описываемой уравнением , где , а функция задана уравнениями: .

Решение

Будем решать используя метод медленно меняющихся амплитуд

Будем искать решение в виде:

x=A cos( t + θ(t)) (1)

Первая производная:

x’ = A’(t) cos ( t + θ (t)) - A(t) (1 + θ’ (t)) sin ( t + θ(t))

Если принять допущение: (т.к. A, θ - медленно меняющиеся функции)

A’(t) cos ( t + θ (t)) - A(t) θ’ (t) sin ( t + θ(t)) = 0

То производная примет вид:

x’ = -A(t) sin ( t + θ(t))

Вторая призводная:

x’’ =- A’(t) sin ( t + θ (t)) - A(t) (1 + θ’ (t)) cos ( t + θ(t))

Подставив в исходное уравнение, получим:

A’(t) sin ( t + θ (t)) + A(t) θ’ (t) cos ( t + θ(t)) = - μ y

Вместе с принятым допущение получим систему:

A’(t) sin ( t + θ (t)) + A(t) θ’ (t) cos ( t + θ(t)) = - μ y

A’(t) cos ( t + θ (t)) - A(t) θ’ (t) sin ( t + θ(t)) = 0

Умножая первое на cos ( t + θ (t), а второе на sin ( t + θ (t) и наоборот и складывая получим систему:

A’ = - μ y sin (t + θ)

Аθ’ = - μ y cos (t + θ)

Усредним правые части за период получим систему укороченных уравнений:

A’ = - y sin (t₁) dt₁

Аθ’ = - y cos (t₁) dt₁

Где t₁ = t + θ

Нам понадобится только второе:

Аθ’ = - A³ cos³(t₁) cos (t₁) dt₁ = - A³ dt₁ =

= - A³ dt₁ = - A³ dt₁ =

= - A³ dt₁ = -A³ dt₁ =

= -A³ = -

Аθ’ = - ; θ = - t

Подставляем в (1) : x=A cos( t - t) = A cos( t ( 1- ))= A cos( ωt )

Отсюда ответ: ω = 1-

2. Два одинаковых LC контура связаны общей емкостью. Показать, что нормальные моды колебаний описываются формулами при и при . - ток в первом контуре, - ток во втором контуре.

Решение

i2

i3

i1

C

C

 

i₁=i₃+i₂, i₃=i₁-i₂ – закон Киргофа

Падение напряжения на катушке

Дифференцируем по t

1 случай. I₁=I₂

- уравнение гармонического асциллятора­

1 случай. I₁=-I₂

- уравнение гармонического асциллятора

 

1. Получить дисперсионное уравнение и построить дисперсионную характеристику для однородной цепочки.

i₁=i₃+i₂ - уравнение для токов цепи

; ;

Получаем

Уравнение для гармонических колебаний напряжения в цепи со сдвигом

Подставим в уравнение

Умножим всё на

переставим

, т.е.

Замкнутый контур, где

L_общ=2L; С_общ=С/2

Получаем

1) ; ; ; .

2) ; ; ; .

1. Смещение гармонического осциллятора описывается уравнением . Считая, что смещение и скорость откладываются на двух взаимно перпендикулярных осях, исключите время и покажите, что геометрическим местом точек является эллипс. Докажите, что этот эллипс является кривой постоянной энергии.

Решение.

- уравнение эллипса

-баланс энергий

, -максимальная амплитуда, -максимальная скорость

.

1. Для математического маятника, который колеблется с амплитудой , найти фазовую постоянную для решения: если колебания начинаются из положения .

В начальный момент времени:

Отсюда:

,

Ответ ,

 

1. На цепочку последовательно соединенных катушки индуктивности, конденсатора и резистора подается синусоидальное напряжение с амплитудой . Покажите, что при резонансе тока напряжение как на катушке индуктивности, так и на конденсаторе равно .

 

Решение.

-добротность

-для тока