Интеграл Фурье.
Пусть периодическая функция f(x) (период T=2l) на каждом отрезке [-l,l] (l – любое число) кусочно-гладкая или кусочно-монотонная, и, кроме того, f(x) – абсолютно интегрируемая функция на всей числовой оси, то есть несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования от модуля функции - сходится.
При этих условиях функцию f(x)на каждом интервале (-l,l) можно разложить в ряд Фурье:
|x|<1
В точках х разрыва функции f(x)сумма ряда равна 
n= 0, 1, 2, …,
n= 1, 2, …,
Для того, чтобы отличать х от переменной интегрирования, переменную интегрирования обозначили через t. Перейдем к пределу при 
. Для этого сначала преобразуем ряд, записанный в правой части равенства, подставляя в него вместо anиbnих выражения через интегралы в соответствии с вышеприведенными формулами. В результате получим:
Или:
(5.1)
Равенство (5.1) имеет место для всех значений х, удовлетворяющих условию |x|<l,гдеl–любое фиксированное число. Пусть х – любая фиксированная точка, перейдем к пределу при .
Прежде всего при 
.
Так как интеграл 
сходится, то его частные интегралы ограничены, то есть 
при любом l.
Тогда 
или, что то же, при l→∞.
Таким образом, переходя в равенстве (5.1) к пределу при , получим:
(5.2)
Пусть 
(общий член последовательности { 
}), тогда 
и, следовательно, 
. При , 
и равенство (5.2) можно записать в следующем виде:
(5.3)
Интегралы, входящие под знак суммы, являются значениями функции 
, в точках последовательности { } при фиксированных х. Вследствие этого, сумма в правой части равенства внешне, в какой-то степени, напоминает интегральную сумму по переменной u, составленную для промежутка 
. Можно доказать, что предел суммы, записанный в правой части, равен интегралу:
Тогда в любой точке непрерывности функции 
будет выполняться равенство:
(5.4)
Преобразуем теперь правую часть равенства, используя формулу для косинуса разности двух углов:
Или, иначе:
, (5.5)
причем коэффициенты a(u) и b(u) соответственно равны:
(5.6)
Пусть – любая абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на каждом конечном отрезке. Интегралом Фурье для такой функции называется интеграл:
где a(u) и b(u) определяются равенствами (5.6), при этом записывают:
Если в каждой точке непрерывности функции интеграл Фурье этой функции равен значению функции , то знак соответствия 
заменяется знаком равенства и говорят, что функция представима интегралом Фурье. Двойным интегралом Фурье абсолютно интегрируемой на промежутке 
функции 
, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на каждом конечном отрезке, называется интеграл:
Из приведенных выше рассуждений вытекает следующая теорема: если - абсолютно интегрируемая на промежутке функция, кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на каждом отрезке [-l,l], то для этой функции справедливы равенства (5.5) и (5.6) или, что тоже, в этом случае функция 
представима соответственно интегралом Фурье или двойным интегралом Фурье.