Комплексная форма ряда Фурье.

Пусть f(x) - периодическая функция, с периодом Т=2π, отвечающая условиям Дирихле. Тогда она может быть представлена рядом Фурье:

где коэффициенты ряда Фурье для периодической функции f(x) с Т=2π вычисляются в соответствии с формулами (4.3):

Воспользуемся показательной и тригонометрической формами комплексного числа и Z=ρ cos φ + iρ sin φ.

Приравняем эти выражения.

Тогда: , поменяем φ на –φ

Сложим два последних выражения:

,т.е. (4.14)

После вычитания второго выражения из первого в итоге получим:

, т.е. (4.15)

Формулы (4.14) и (4.15) называются формулами Эйлера. Используем их для выражения (простой гармоники) общего члена ряда Фурье

. Домножим числитель и знаменатель второго слагаемого на i (избавимся от мнимости в знаменателе).

Тогда общий член ряда Фурье запишется в виде:

Обозначим

Очевидно тогда, что сумма N членов ряда Фурье для функции может быть записана в виде:

При N ∞, получим:

(4.16)

Если предел существует, то ряд сходиться для данного значения x.

n=1,2,3…

По другому можем записать так:

(4.17)

где n= ±1, ±2, ±3, …

где n=0

Зная коэффициенты комплексного ряда Фурье, формулы (4.16) и (4.17), можно найти коэффициенты действительного ряда Фурье для той же функции

,т.е. , b_n =-2Im (C_n )

Пример:разложить заданную функцию в ряд Фурье в действительной и комплексной формах

рис. 4.4

Функция отвечает условиям Дирихле: имеет период 2π; на отрезке [-π; π] (длиной в период) функция ограничена; непрерывна и монотонна.

-π

При вычислениях учитывали, что cos nπ=(-1)ⁿ; sin nπ=0,

т.е.

(Подробнее о гиперболических функциях следует посмотреть в «Приложении»). Перейдем к действительной форме ряда Фурье для заданной функции:

= 2∙(-1)ⁿ∙shπ ∕(π(1+n²))

bn = -2∙Im(Cn) = -2n∙(-1)ⁿ∙shπ∕(π(1+n²))

Окончательно получим:

Пример: записать ряд Фурье в комплексной форме для периодической функции f(x)=e^x (период T=2 ), определенной при 0<x<2 . Воспользуемся формулами (4.16) и (4.17).

где

(n=0,

Тогда

Пример:от комплексной формы ряда Фурье, полученной в предыдущей задаче перейти к действительной форме ряда Фурье.

Т.к.

Пример: записать ряд Фурье для периодической (T=2π) функции , на интервале [-π ] в комплексной форме.

, где

Воспользуемся формулой Эйлера:

тогда , следовательно,

= =

= = = = =

При этом учли, что

, а

Тогда

От комплексной формы ряда Фурье перейдем к действительной форме. Т.к. , где n=0,1,2.., то

;

b_n= - 2Im(C_n) но Im(C_m)=0, т.е. ряд Фурье в действительной форме примет вид:

Комплексная форма ряда Фурье периодической функции периода

Пусть - периодическая функция периода , удовлетворяющая условиям Дирихле. Тогда подстановка приводит к функции , разложимой в ряд Фурье с периодом 2 . Тогда для такой функции имеем:

, где

Сделаем обратный переход к аргументу с помощью подстановки . Получим комплексную форму ряда Фурье для периодической функции с периодом T= 2l.

При этом