Признак равномерной сходимости Вейерштрасса.

любом n и при всех значениях аргумента x, принадлежащих отрезку .

рядом, то исследуемый степенной ряд равномерно сходится на этом отрезке.

Область сходимости степенного ряда обычно находят с помощью признака Даламбера:

(2.1)

или с помощью признака Коши:

(2.2)

Решая неравенства (2.1) или (2.2) находят диапазон изменения аргумента x, при котором неравенства удовлетворяются. Внутри области сходимости ряды сходятся абсолютно и равномерно.

Пример: определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости.

1. Определим интервал сходимости по признаку Даламбера (2.1).

Рассмотрим

Произведя сокращения, получим:

т.к. (по 3-ему замечательному пределу), то получим область сходимости

или , т.е.

и окончательно -3<x<1. Внутри интервала сходимости (-3; 1) исследуемый ряд сходится абсолютно и равномерно.

2. Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

а) Пусть х=-3, тогда на левом конце интервала сходимости получим числовой знакочередующийся ряд

Исследуем полученный знакочередующийся числовой ряд по признаку Лейбница:

; ; ; …

Получим, что …- монотонно убывающая последовательность, составленная из модулей членов числового ряда. Следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится.

Следовательно, при исходный степенной ряд сходится абсолютно.

б) Пусть х=1, тогда на правом конце интервала сходимости получим знакопостоянный числовой ряд:

Полученный ряд по признаку сравнения сходится. Ответ: область сходимости [-3;1].

Пример: определить интервал сходимости степенного ряда

Определим интервал сходимости по признаку Даламбера.

Т.к. , следовательно, неравенство справедливо при любых значениях аргумента x, т.е. область сходимости ряда (-∞; +∞) – вся числовая ось.

Пример: найти область сходимости степенного ряда

 

1. Находим область сходимости ряда по признаку Коши:

Т.к. предел стремится к единице, то , т.е. область сходимости или .

Внутри полученной области сходимости ряд сходится абсолютно и равномерно.

2. Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

a) Пусть x=4, на левом конце области сходимости получаем знакочередующийся числовой ряд:

Исследуем знакочередующийся числовой ряд по признаку Лейбница:

монотонно убывающая последовательность, следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится.

Исследуем ряд из модулей членов ряда по интегральному признаку Коши.

 

следовательно, ряд из модулей членов ряда расходится. Т.е. при x=4 имеем условную сходимость.

б) Пусть x=6.

 

соответствующий ряду из модулей членов исходного ряда. Но по интегральному признаку Коши такой знакопостоянный числовой ряд расходится, т.е. при x=6 исследуемый ряд расходится.

Ответ: область сходимости заданного ряда [4; 6). На левом конце интервала сходимости при x=4 сходимость условная, точка x=6 в область сходимости не входит. Внутри области сходимости (4;6) исследуемый ряд сходится абсолютно и равномерно.