Степенные ряды. Область сходимости.

функциональным рядом. Каждый член этого ряда – функция, зависящая от переменной x и номера члена ряда n.

Степенной ряд – частный случай функционального ряда, где функции являются степенными функциями переменной x. При определенных значениях переменной x степенной ряд может сходиться, при других значениях аргумента x может расходиться.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при некотором значении , то он сходится, и при том абсолютно, при всех значениях .

Областью сходимости степенного ряда называется интервал (-R, R) такой, что для всякой точки x, которая лежит внутри этого интервала, ряд сходится, и к тому же абсолютно, а для точек x, лежащих вне интервала, ряд расходится.

если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

Критерий Коши равномерной сходимости ряда:для равномерной

чтобы для любого числа ε>0 существовал такой номер члена ряда N(ε), что при n>N и любом целом p>0 неравенство

выполнялось бы для всех x отрезка . Действительно, это получается сразу же, если учесть, что

.