А) Признак сравнения.

Если даны два числовых ряда с неотрицательными членами ряда:

, где (1.3)

и где , (1.4)

то если при любом n, то из сходимости ряда (1.4), следует сходимость ряда (1.3), а из расходимости ряда (1.3) следует расходимость ряда (1.4).

На практике чаще используют следствие из признака сходимости: если

то в смысле сходимости и расходимости ряды (1.3) и (1.4) ведут себя одинаково. В качестве ряда, с которым сравнивают исследуемый, обычно выбирают ряд с общим членом ряда , который при - сходится, при - расходится.

Пример: исследовать числовой ряд на сходимость.

Общий член ряда , в качестве ряда, с которым сравниваем исследуемый ряд, возьмем расходящийся ряд с общим членом ряда ( =1).

(по третьему замечательному пределу), следовательно, исходный ряд также расходится.

Пример: исследовать числовой ряд на сходимость.

Общий член ряда , в качестве ряда, с которым сравниваем, возьмем сходящийся ряд

(по 3-ему замечательному пределу), следовательно, исходный ряд сходится. Пример: исследовать на сходимость числовой ряд

В качестве ряда, с которым будем сравнивать данный числовой ряд, предлагается взять ряд с общим членом ряда Степень выбираем как разность между старшей степенью знаменателя и старшей степенью числителя исследуемого числового ряда, т.е. в данном примере =4-2=2.

(по 3-му замечательному приделу). Т.к. сравнивали со сходящимся рядом, то, следовательно, исходный ряд также сходится.

Б) Признак Даламбера.
(1.5)

то если ряд сходится; при k >1 – ряд расходится; если требуются дополнительные исследования.

Пример: исследовать числовой ряд на сходимость, если .

Запишем член ряда с номером (n+1):

, найдем предел отношения членов ряда

следовательно, заданный ряд сходится (предел отношения многочлена второй степени находящегося в числителе, к многочлену второй степени находящегося в знаменателе, по 3-му замечательному пределу, равен 1.)

Пример: исследовать знакопостоянный числовой ряд.

Учтем, что n!=1 произведение натуральных чисел от 1 до n.