Выпуклые множества

Множество может быть выпуклым, строго выпуклым и невыпуклым. Множество AÌEⁿ называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками x₁ и x₂ содержит отрезок, соединяющий эти точки (рис. 2.10, а), т.е.

[x₁x₂]ÌА,

где

[x₁x₂]={xÎEⁿ| x= lx₁+(1-l) x₂, 0 £l £1}.

 

Выпуклое множество А называется строго выпуклым, если для любых x₁, x₂ ÎА, x₁ ≠ x₂, и любого lÎ(0,1) точка х_l = lx₁+(1-l)x₂Îint А. Граница строго выпуклого множества не может содержать отрезки прямых или куски плоскостей (рис. 2.10, б).

 

 

Рис. 2.10. Выпуклое (а), строго выпуклое (б), невыпуклое (в) множество

 

Рассмотренные выше полупространства являются выпуклыми множествами. Проверим, например, выпукло ли полупространство Н⁺_ab{xÎEⁿ| <a,x> ³ b}. Для этого рассмотрим две произвольные точки x₁ и x₂ этого полупространства. Для этих точек выполнены неравенства

<a, x₁> ³ b, <a, x₂> ³ b.

 

Сложим эти два неравенства, предварительно умножив первое на произвольное число lÎ[0,1], а второе на (1- l). В результате получим неравенство

l<a,x₁> + (1-l) <a,x₂> = <a,lx₁ + (1-l)x₂> ³ b.

Поскольку l произвольно, весь отрезок, соединяющий выбранные точки, принадлежит данному полупространству. Следовательно, полупространство действительно является выпуклым множеством.