Граничные условия для тангенциальных составляющих векторов поля

Задача о поведении на границе раздела тангенциальных составляющих магнитного поля решается на основе интегральной формы закона полного тока. Для этого в окрестности интересующей нас точки Р построим малый прямоугольный контур длиной Δl и высотой Δh. так, чтобы его длинные стороны располагались по разные стороны от поверхности раздела (рис. 5.4).

Векторы поля разложим на нормальную и тангенциальную составляющую, спроектировав на орты n₀ и τ₀ (рис. 5.4). Кроме того, построим ортk₀, направленный перпендикулярно плоскости, в которой лежат орты n₀ и τ₀. Направление обхода контура выберем так, чтобы с конца орта k₀ оно выглядело происходящим против часовой стрелки.

В общем случае в обеих граничащих областях протекают токи проводимости и токи смещения. Применим к контуру закон полного тока. При этом сделаем размеры контура достаточно малыми, чтобы напряженность магнитного поля можно было бы считать постоянной. Получим:

(5.25)

В этой формуле Ц- циркуляция вектора напряженности магнитного поля по высотам контура.

Если электропроводность обоих граничащих сред конечна, конечны и модули векторов плотности тока проводимости в обеих средах. Устремим высоту контура Δh к нулю. Очевидно, что при этом величина циркуляции вектора напряженности магнитного поля по высотам контура также устремится к нулю. Кроме того, так как электропроводности обоих граничащих сред конечны, конечными будут и токи проводимости в них. Значит, будет справедливо следующее равенство:

(5.26)

С учетом этого формула (5.25) примет вид:

(5.27)

Значит, граничные условия для векторов напряженности магнитного поля можно описать следующим соотношением:

(5.28)

Если электропроводность граничащих сред конечна, тангенциальные составляющие векторов напряженности магнитного поля при переходе через границу не изменяются.

Из материального уравнения для магнитного поля следует, что тангенциальные составляющие векторов магнитной индукции при конечной электропроводности граничащих сред на границе изменяются скачкообразно из-за разницы магнитных проницаемостей сред:

(5.29)

Рис. 5.5. Ток на поверхности идеального проводника

Если электропроводность второй среды бесконечна, формулу (5.27) применять нельзя. При бесконечно большой электропроводности среды глубина проникновения электромагнитных волн в нее равна нулю и токи проводимости протекают по поверхностной пленке нулевой толщины. Поэтому предельный переход дает результат, отличный от нуля и необходимо рассмотреть поверхностные токи.

Для этого введем вектор плотности поверхностного тока η (рис. 5.5), направление которого задает орт η₀. Выделим отрезок Δl перпендикулярный орту η₀ и найдем величину тока, протекающего через него. Плотность поверхностного тока определяется как предел, к которому стремится этот ток при уменьшении длины отрезка до нуля:

(5.30)

Теперь формулу (5.27) можно записать в следующем виде:

(5.31)

Далее надо учесть, что внутри идеального проводника электромагнитное поле существовать не может. Получим:

(5.32)

Формула (5.32) позволяет решить важную для практики задачу - по известному магнитному полю на границе идеального проводника определить плотность поверхностного тока. При этом необходимо учесть, что орт тангенциального направления связан с двумя остальными соотношением:

(5.33)

Это соотношение позволяет представить вектор плотности поверхностного тока в виде:

(5.34)

Значит, поверхностный ток на границе с идеальным проводником численно равен вектору напряженности магнитного поля и протекает в направлении, перпендикулярном этому вектору.

Методика решения задачи о граничных условиях для векторов электрического поля полностью совпадает с изложенной выше. Отличие состоит лишь в том, что вместо закона полного тока следует воспользоваться законом электромагнитной индукции. В результате для векторов напряженности электрического поля при конечной электропроводности сред получим:

(5.35)

Если электропроводность обоих граничащих сред конечна, тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля при переходе через границу раздела сред не изменяется.

Граничные условия для векторов электрической индукции при конечной электропроводности граничащих сред получаются с помощью материального уравнения:

(5.36)

Если электропроводность обоих граничащих сред конечна, тангенциальная составляющая вектора электрической индукции при переходе через границу раздела сред изменяется скачкообразно.

Если среда 2 является идеальным проводником, амплитуда вектора напряженности электрического поля в ней равна нулю. Если бы внутри идеального металла существовала конечная напряженность электрического поля, то токи, там протекающие, были бы бесконечно велики, и выделялось бы бесконечно большое количества тепла. А это потребовало бы бесконечно большой мощности источника поля, что физически не реализуемо. Значит, граничное условие для идеального проводника принимает вид:

(5.37)

 

 

Отсюда вытекает важное свойство вектора напряженности электрического поля на границе с проводником: силовые линии электрического поля подходят к поверхности идеального проводника по нормали.

Понятие «идеальный проводник» является абстрактным и на границе раздела с реальным металлом небольшая тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля все-таки имеется. Однако она обычно так мала, что во многих задачах ее можно не учитывать.