П.10. Ряды Фурье.

Функциональный ряд вида

(19)

называется тригонометрическим рядом.

Если коэффициенты и вычислены по формулам

, , , (20)

то тригонометрический ряд (19) представляет собой ряд Фурье для функции , заданной на отрезке .

Теорема Дирихле. Если - кусочно гладкая на отрезке функция, то ее ряд Фурье сходится к функции во всех точках, где она непрерывна. В точках разрыва ряд сходится к значению , а на концах интервала – к значению .

В силу теоремы Дирихле для функции, заданной на отрезке и для периодической функции с периодом в точках непрерывности справедливо равенство:

,

где коэффициенты и вычисляются по формулам (20).

Для четной функции, заданной на отрезке или для четной с периодом с периодом коэффициенты при нечетных членах ряда Фурье оказываются нулевыми, и ряд принимает вид

,

где

; .

Аналогично для нечетных функций:

; .

Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке и для периодической функции с периодом :

,

где

, , .

Здесь для четных функций:

, где , ;

для нечетных функций:

, где .

Если требуется представить рядом Фурье функцию, заданную на отрезке , то ее формально можно доопределить четным или нечетным образом в промежутке и применить приведенные выше формулы.