Баланс энергии при гармонических колебаниях

В радиотехнике гармонические колебания электромагнитных полей обычно бывают высокочастотными. Поэтому их энергетические характеристики чаще всего целесообразно усреднять по времени. Правила усреднения комплексных амплитуд описаны во многих учебниках и приведены, в том числе, в [6].

Результат усреднения можно выразить через комплексные амплитуды. Например, плотности энергии электрического и магнитного полей в формулах (4.15) и (4.16) пропорциональны квадратам напряженностей. С использованием комплексных амплитуд среднюю плотность энергии, запасенной электромагнитным полем, можно описать формулой:

(4.25)

Среднее значение плотности мощности определяется как действительная часть комплексной плотности мощности:

(4.26)

 

где -плотность комплексной мощности, Вт/м3

Аналогично определяется среднее значение вектора Пойнтинга:

(4.27)

Для того чтобы понять, как соотносятся мгновенные и средние значения энергетических величин, проанализируем формулу (4.26), описывающую плотность мощности. Пусть имеется электрическая составляющая электромагнитного поля, которая описывается следующей формулой:

(4.28)

В том же объеме существует ток, сдвинутый по фазе относительно напряженности:

(4.29)

 

где φ – угол сдвига фаз между током и напряжением

При этих условиях плотность мощности можно вычислить по следующей формуле:

(4.30)

Важной особенностью полученного результата является наличие в описании плотности мощности двух слагаемых, изменяющихся по разным законам. Первое слагаемое, пропорциональное cos φ, не зависит от времени и равно среднему значению плотности мощности. Второе слагаемое – переменная составляющая плотности мощности, колеблющаяся с удвоенной частотой.

Результаты расчетов по формуле (4.30) при разных сдвигах фаз между током и напряжением приведены на рис. 4.3. Там построены графики зависимости напряженности электрического поля, плотности тока, мгновенной и средней плотности мощности от времени. Если напряженность поля и ток синфазны, то плотность мощности положительна, а ее среднее значение равно половине максимального (рис. 4.3,а).

Рис. 4.3. Мгновенные и средние величины плотности мощности

При сдвиге фаз между током и напряжением π/4 (рис. 4.3, б) мгновенная плотность мощности некоторую часть периода отрицательна. Среднее значение мощности уменьшилось, но осталось положительным. Переменная составляющая мощности превышает среднюю более чем вдвое. При сдвиге фазы π/2 (рис. 4.3, в)среднее значение мощности равно нулю.

Если сдвиг фаз будет расти и дальше, картина изменения средней мощности повторится с изменением знака (рис. 4.3, г – е). Следовательно, переменная составляющая плотности мощности может как угодно превосходить модуль ее среднего значения. Но модуль среднего значения плотности мощности может достигать лишь половины амплитуды переменной составляющей.

Для описания среднего баланса энергии гармонического электромагнитного поля в некоторой области V воспользуемся комплексными амплитудами и комплексными проницаемостями. Прилучим:

(4.31)

В этой формуле за излучение отвечает левая часть, задана плотность комплексной мощности источников (последнее слагаемое в правой части), а электрические и магнитные потери учтены в соответствующих комплексных проницаемостях. Подставим в эту формулу комплексные проницаемости в виде сумм действительной и мнимой частей, выделим действительную и мнимую части результата и проинтегрируем полученные равенства по объему V с границей S. Получим:

(4.32)
(4.33)

 

где -комплексная мощность источников, Вт.

В левой части равенства (4.32) стоит действительная составляющая комплексного потока энергии РΣ – то есть средний поток энергии через поверхность S. Последний член справа дает среднюю мощность источников. Поэтому равенство (4.32) удобно записать в следующем виде:

(4.34)

Это - уравнение среднего баланса энергиипри гармонических колебаниях.

Пусть источники отдают энергию полю, то есть средняя мощность сторонних источников меньше нуля. Если диэлектрическая и магнитная проницаемости вещественны, то объемный интеграл в формуле (4.32) исчезает. При этом в среднем вся мощность источников будет расходоваться на излучение.

Если же есть потери, то мнимые части проницаемостей будут больше нуля и объемный интеграл в формуле (4.34) будет положительным. Значит, средняя мощность излучения уменьшится на его величину. Из этих рассуждений следует, что объемный интеграл в формуле (4.34), взятый без знака минус, описывает среднюю мощность потерь в объеме V:

(4.35)

Полученный результат еще раз поясняет смысл мнимых частей комплексных проницаемостей. Если они равны нулю, среда не поглощает энергии. Потери энергии существуют, если мнимые части проницаемостей больше нуля. Эти потери происходят в результате преобразования энергии поля в какие-то иные формы, и, в конечном счете – в тепло.

В простейшем варианте поглощение вызывается только электропроводностью среды. Этот случай встречается в практических задачах чаще всего. Для среды без магнитных потерь равенство (4.35) можно переписать в следующем виде:

(4.36)

Действительная часть мощности сторонних источников называется активной мощностью, а действительная часть мощности излучения - активным потоком энергии. Мнимые части этих величин называются реактивной мощностью и реактивным потоком энергии. При вещественных диэлектрической и магнитной проницаемостях получаем:

(4.37)

Отсюда следует, что реактивные составляющие связаны здесь с разностью средних значений электрической и магнитной энергии в объеме V.