Система массового обслуживания с ожиданием, основные характеристики функционирования
Рассмотрим аналитические модели СМО с ожиданием, т.е. требование, поступившее в момент, когда все обслуживающие каналы заняты, становится в очередь и ожидает, когда освободится один из каналов.
Предположим также, что в систему поступает простейший поток заявок с интенсивностью l., а время обслуживания одного требования в системе является случайной величиной, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром .
Математический аппарат, используемый для расчета основных характеристик СМО (формулы Эрланга) зависит от того, является ли СМО замкнутой или разомкнутой.
Расчет характеристик замкнутой СМО с ожиданием (в системе может быть не более m требований) [1, с.110-112].
1. Вероятность того, что в системе находится k требований при условии, что их число не превышает числа обслуживающих аппаратов (каналов) n:
где:
· n – число каналов обслуживания;
· m – наибольшее возможное число требований, находящихся в обслуживаемой системе одновременно;
· λ – частота (интенсивность) поступления требований в систему от одного источника;
· – средняя продолжительность обслуживания одного требования;
· ;
· – вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны.
2. Вероятность того, что в системе находится k требований при условии, что их число больше числа обслуживающих аппаратов:
где .
3. Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны, определяется из условия . Следовательно,
.
4. Среднее число требований, ожидающих начала обслуживания (средняя длина очереди):
.
5. Коэффициент простоя требования в ожидании обслуживания:
.
6. Вероятность того, что все обслуживающие аппараты заняты:
.
7. Среднее число требований, находящихся в обслуживающей системе (обслуживаемых и ожидающих обслуживания):
.
8. Коэффициент полного простоя требований на обслуживании и в ожидании обслуживания:
.
9. Среднее время простоя требования в очереди на обслуживание:
.
10. Среднее число свободных обслуживающих аппаратов:
.
11. Коэффициент простоя обслуживающих аппаратов:
.
12. Вероятность того, что число требований, ожидающих обслуживания, больше некоторого числа B (вероятность того, что в очереди на обслуживание находится более B требований):
.
Расчет характеристик разомкнутой СМО с ожиданием (источник обладает бесконечным числом требований) [1, с.113-114].
1. Для нормального функционирования системы необходимо соблюдение требования (в противном случае очередь неограниченно растет), где:
· n – число каналов обслуживания;
· λ – частота (интенсивность) поступления требований в систему;
· – средняя продолжительность обслуживания одного требования одним аппаратом.
2. Вероятность того, что в системе находится k требований при условии, что их число не превышает числа обслуживающих аппаратов:
где:
· ;
· – вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны.
3. Вероятность того, что в системе находится k требований при условии, что их число превышает число обслуживающих аппаратов:
где:
· ;
4. Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны:
.
5. Вероятность того, что обслуживающие аппараты заняты (вероятность отказа в немедленном обслуживании):
.
6. Средняя длина очереди:
.
7. Средняя продолжительность ожидания обслуживания (продолжительность простоя в очереди):
.
8. Среднее число свободных аппаратов:
.
9. Коэффициент простоя обслуживающего аппарата:
.