Маятник Фуко

Впервые публичная демонстрация была осуществлена французским физиком и астрономом Жаком Фуко в 1851 г. в Парижском Пантеоне: под куполом Пантеона он подвесил металлический шар массой 28 кг с закреплённым на нём остриём на стальной проволоке длиной 67 м. Крепление маятника позволяло ему свободно колебаться во всех направлениях, под точкой крепления было сделано круговое ограждение диаметром 6 м, по краю ограждения была насыпана песчаная дорожка таким образом, чтобы маятник в своём движении мог при её пересечении прочерчивать на песке отметки. Чтобы избежать бокового толчка при пуске маятника, его отвели в сторону и привязали верёвкой, после чего верёвку пережгли.

Период колебания маятника при такой длине подвеса составлял 16,4 с, при каждом колебании отклонение от предыдущего пересечения песчаной дорожки составляло ~3 мм, за час плоскость колебаний маятника повернулась более чем на 11° по часовой стрелке, т.е. примерно за 32 ч совершила полный оборот и вернулась в прежнее положение.

Рис. 5.2. Маятник Фуко.

а)

б)

Для качественного понимания причины поворота плоскости колебаний поместим маятник на Северном полюсе (рис. 5.2,а).

В инерциальной системе отсчета, в качестве которой можно взять систему, связанную с «неподвижными» звездами, уравнение движения имеет вид:

где – вектор положения маятника с началом в неподвижной точке системы отсчета ( например, в центре Земли), – натяжение нити, а – гравитационное притяжение Земли.

Ясно, что если начальная скорость .лежит в плоскости , то маятник не выйдет из этой постоянной в инерциальной системе плоскости колебаний, что с точки зрения земного наблюдателя воспринимается как вращение этой плоскости по часовой стрелке с угловой скоростью . Если же маятник находится на широте , то плоскость колебаний вращается с угловой скоростью .

Рассматривая движение маятника как сложное, состоящее из переносного вместе с вращающейся Землей и относительного, запишем уравнение (5.10) в виде:

, (1)

где обозначено – сила тяжести на данной широте ;

натяжение нити; сила инерции Кориолиса, которая направлена перпендикулярно скорости вправо, если смотреть вслед маятнику, чем и объясняется вращение плоскости колебаний по часовой стрелке.

Обычным способом записи уравнений динамики относительного движения является проецирование их на оси, связанные с подвижной системой отсчета (в данном случае с Землей).

При векторном описании относительного движения необходимо все векторы в уравнении представить в виде , где тензор поворота подвижной системы отсчета, а «перенесенный» вектор.

Вектор положения, с началом в точке подвеса, запишем в виде , где тензор поворота Земли (рис. 5.2б). Тогда относительные скорость и ускорение ; сила тяжести ; натяжение . Поскольку , то и сила инерции Кориолиса по тождеству (1.14) также представима в виде:

Таким образом, умножив (1) слева скалярно на , получим:

(2)

Представим вектор угловой скорости Земли в виде , а вектор положения , где горизонтальная составляющая вектора положения и, удерживая линейные относительно величины, получим:

где подчеркнутое слагаемое параллельно .

Из проекции уравнения (2) на ось Z получим , а «плоская» часть примет вид:

, (3)

где квадрат собственной частоты математического маятника.

Решение уравнения (3) будем искать в виде . Используя формулу Пуассона: , получим:

, (учли, что ).

Подставляя в (3), получим или

Решение этого уравнения , где , при произвольных , т.е. при произвольных начальных условиях, описывает движение по эллипсу. Решение уравнения (3) описывает вращение этого эллипса по часовой стрелке с угловой скоростью .

При начальных условиях, осуществленных Фуко (отклонение и отпускание без начальной скорости) находим: , и решение можно трактовать как вращение плоскости колебаний маятника.