повышенный уровень, время – 3 мин)
Тема: Графы. Поиск количества путей
Что нужно знать:
· если в город R можно приехать только из городов X, Y, и Z, то число различных путей из города A в город R равно сумме числа различных путей проезда из A в X, из A в Y и из A в Z, то есть
,
где 
обозначает число путей из вершины A в некоторую вершину Q
· число путей конечно, если в графе нет циклов – замкнутых путей
Пример задания:
На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К, М. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей, ведущих из города А в город М и проходящих через город В?
Решение:
1) для того, чтобы оставить только маршруты, проходящие через вершину В, нужно представить граф в таком виде, «собрав его в пучок» около вершины В:
2) сначала отбросим все рёбра и вершины (кроме вершины В), которые оказались на одной вертикали с вершиной В на рисунке[1]:
3) в данном случае выбрасывается вершина Ж, все связанные с ней рёбра, и ребро ГЕ:
4) дальше используем стандартный метод (см. разбор следующей задачи)
5) покажем только окончательный результат:
6) Ответ: 16.
Ещё пример задания:
На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К, Л. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Л?
Решение:
1) будем обозначать через NX количество различных путей из города А в город X
2) для города А есть только один маршрут – никуда не двигаться, поэтому NA = 1
3) для любого города X количество маршрутов NX можно вычислить как
Nx = Ny + … + Nz
где сумма взята по всем вершинам, из которых есть прямой путь в вершину X; например,
NЛ = NИ + NЖ + NК
4) около каждого города будем записывать количество маршрутов из А в этот город
5) начнем считать количество путей с начала маршрута – с города А:
6) теперь находим те вершины, в которые можно попасть напрямую из уже рассмотренных вершин (пока – только из А), это Б и Г, для них тоже количество путей равно 1:
7) теперь можно определить количество путей для В и Е; в В можно приехать только из А, Б и Г, а в Е – только из Г:
NВ = NА + NБ + NГ = 1 + 1 + 1 = 3
NЕ = NГ = 1
8) теперь можно определить количество путей для Д, Ж и К; в Д можно приехать только из Б и В, в Ж – из В и Е, а в Е – только из Г:
NД = NБ + NВ = 1 + 3 = 4
NЖ = NВ + NЕ = 3 + 1 = 4
NК = NЕ = 1
9) теперь можно определить количество путей для И, куда можно приехать только из Д (NИ = NД) и, наконец, для Л:
NЛ = NД + NИ + NЖ + NК = 13
10) Ответ: 13.
Ещё пример задания:
На карту нанесены 4 города (A, B, C и D). Известно, что
между городами A и С – три дороги
между городами C и B – две дороги
между городами A и B – две дороги
между городами C и D – две дороги
между городами B и D – четыре дороги
По каждой из этих дорог можно ехать в обе стороны. Сколькими различными способами можно проехать из города А в город D, посещая каждый город не более одного раза?
Решение:
11) нарисуем граф, в котором множественные дороги из одного города в другой будем обозначать одной дугой и подписывать около неё количество дорог:
12) выпишем все маршруты, по которым можно ехать из A в D так, чтобы дважды не проезжать один и тот же город:
| 2 4 | 3 2 | 2 2 2 | 3 2 4 |
| A ® B ® D | A ® С ® D | A ® B ® С ® D | A ® C ® B ® D |
13) теперь рассмотрим маршрут A ® B ® D; сначала можно двумя путями приехать из A в B, а затем – 4-мя путями из B в D; поэтому общее количество различных маршрутов равно произведению этих чисел: 2*4 = 8
14) аналогично находит количество различных путей по другим маршрутам
A ® С ® D: 3*2 = 6
A ® B ® С ® D: 2*2*2 = 8
A ® C ® B ® D: 3*2*4 = 24
15) всего получается 8 + 6 + 8 + 24 = 46.
16) Ответ: 46.
Еще пример задания:
На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?
|
Решение (1 вариант, подстановки):
1) начнем считать количество путей с конца маршрута – с города К
2) будем обозначать через NX количество различных путей из города А в город X
3) общее число путей обозначим через N
4) по схеме видно, что NБ = NГ = 1
5) очевидно, что если в город X можно приехать только из Y, Z, то NX = NY + NZ, то есть нужно сложить число путей, ведущих из A во все города, откуда можно приехать в город X
6) поскольку в K можно приехать из Е, Д, Ж или И, поэтому
N = NК = NД + NЕ + NЖ + NИ
7) в город И можно приехать только из Д, поэтому NИ = NД
8) в город Ж можно приехать только из Е и В, поэтому
NЖ = NЕ + NВ
9) подставляем результаты пп. 6 и 7 в формулу п. 5:
N = NВ + 2NЕ + 2NД
10) в город Д можно приехать только из Б и В, поэтому
NД = NБ + NВ
так что
N = 2NБ + 3NВ + 2NЕ
11) в город Е можно приехать только из Г, поэтому NЕ = NГ так что
N = 2NБ + 3NВ + 2NГ
12) по схеме видно, что NБ = NГ = 1, кроме того, NВ = 1 + NБ + NГ = 3
13) окончательно N = 2NБ + 3NВ + 2NГ = 2·1 + 3·3 + 2·1 = 13
14) Ответ: 13.
Решение (2 вариант, удобная форма записи):
1) начнем считать количество путей с конца маршрута – с города К
2) 
записываем для каждой вершины, из каких вершин можно в нее попасть
К ИДЖЕ
И Д
Ж ВЕ
Е Г
Д БВ
Г А
В АБГ
Б А
3) теперь для удобства «обратного хода» вершины можно отсортировать так[2], чтобы сначала шли все вершины, в которые можно доехать только из начальной точки А:
Б А
Г А
затем на каждом шаге добавляем те вершины, в которые можно доехать из уже добавленных в список (и из исходной точки):
В АБГ
Е Г
далее добавляем все вершины, куда можно доехать из А, Б, Г, В и Е:
Д БВ
Ж ВЕ
на следующем шаге добавляем вершину И
И Д
и, наконец, конечную. вершину
К ИДЖЕ
именно в таком порядке мы и будем вычислять количество путей для каждой вершины
4) теперь идем по полученному списку вершин, полагая, что количество вариантов попасть в вершину равно суммарному количеству вариантов попасть в ее непосредственных предшественников.
NБ = 1, NГ = 1
NВ = 1+1+1 = 3, NЕ = 1
NД = 1+3 = 4, NЖ = 3 + 1 = 4
NИ = 4,
N = NК = 4 + 4 + 4 + 1 = 13
5) заметим, что вершины можно и не сортировать специально, а просто выбирать возможный порядок вычисления: проверять, какие значения известны и какие можно рассчитать с их помощью на следующем шаге
6) Ответ: 13.
| Возможные ловушки и проблемы: · очень важна аккуратность и последовательность; сначала идем от конечной точки к начальной, выписывая все вершины, из которых можно приехать в данную; затем идем обратно, определяя числовые значения · построение полного дерева маршрутов – занятие трудоемкое и достаточно бесперспективное, даже грамотные учителя информатики здесь в большинстве случаев что-то забывают и ошибаются |
Решение (3 вариант, перебор вершин по алфавиту):
1) Запишем вершины в алфавитном порядке и для каждой из них определим, из каких вершин можно в нее попасть
Б А
В АБГ
Г А
Д БВ
Е Г
Ж ВЕ
И Д
К ИДЖЕ
2) теперь определяем количество путей; сначала ставим 1 для тех вершин, в которые можно проехать только из начальной (А):
| вершина | откуда? | N |
| Б | А | |
| В | АБГ | |
| Г | А | |
| Д | БВ | |
| Е | Г | |
| Ж | ВЕ | |
| И | Д | |
| К | ИДЖЕ |
3) затем на каждом шаге добавляем те вершины, в которые можно доехать из уже добавленных в список (и из исходной точки):
| вершина | откуда? | N |
| Б | А | |
| В | АБГ | |
| Г | А | |
| Д | БВ | |
| Е | Г | |
| Ж | ВЕ | |
| И | Д | |
| К | ИДЖЕ |
4) следующий шаг
| вершина | откуда? | N |
| Б | А | |
| В | АБГ | |
| Г | А | |
| Д | БВ | |
| Е | Г | |
| Ж | ВЕ | |
| И | Д | |
| К | ИДЖЕ |
5) и последние 2 шага
| вершина | откуда? | N |
| Б | А | |
| В | АБГ | |
| Г | А | |
| Д | БВ | |
| Е | Г | |
| Ж | ВЕ | |
| И | Д | |
| К | ИДЖЕ |
6) Ответ: 13.
Решение (4 вариант, перебор всех путей с начала, А. Яфарова):
1) запишем все вершины, в которые есть прямой путь из вершины A: Б, В и Г; получается три начальных отрезка:
АБ, АВ, АГ
2) рассмотрим маршрут АБ: из Б можно ехать в В и Д, поэтому получаем два маршрута:
АБВ, АБД
3) рассматриваем конечные точки этих маршрутов: из В можно ехать в Д и Ж, а из Д – в И и К:
АБВД, АБВЖ, АБДИ, АБДК
4) снова смотрим на конечные точки: из Д едем в И и К, из Ж и И – только в К:
АБВДИ, АБВДК, АБВЖК, АБДИК, АБДК
5) из И едем только в К, таким образом, все возможные маршруты, содержащие участок АБ, доведены до конечной точки К, всего 5 таких маршрутов:
АБВДИК, АБВДК, АБВЖК, АБДИК, АБДК
6) затем аналогично рассматриваем маршруты, которые начинаются с АВ:
АВД, АВЖ
АВДИ, АВДК, АВЖК
АВДИК, АВДК, АВЖК
всего 3 маршрута
7) наконец, остается рассмотреть маршруты, которые начинаются с АГ:
АГВ, АГЕ
АГВД, АГВЖ, АГЕЖ, АГЕК
АГВДИ, АГВДК, АГВЖК, АГЕЖК, АГЕК
АГВДИК, АГВДК, АГВЖК, АГЕЖК, АГЕК
всего 5 маршрутов
8) складываем количество маршрутов для всех начальных участков: 5 + 3 + 5 = 13
9) Ответ: 13.
| Возможные проблемы: · при большом количестве маршрутов легко запутаться и что-то пропустить |
Решение (5 вариант, графический, О.О. Грущак, КузГПА):
1) Главную идею решения: (число дорог в город N есть сумма дорог, приводящих в города, из которых есть прямой проезд в город N), отразим на самой схеме, показывая на ней ЧИСЛО ДОРОГ, приводящих в каждый город.
2) Последовательность очевидна: начинаем с Б и Г (городов, куда есть по 1-й дороге из А)
3) Посчитаем дороги в В: 1 (из A)+ 1(дороги города Б)+ 1(дороги города В)= 3
4) Аналогично посчитаем дороги в Д, И, Е, Ж:
5) Определяем число дорог в город К, как сумму дорог в города, с которыми он связан: Д, И, Ж, Е.
6) Ответ: 13.
[1] Если требуется найти количество путей, НЕ проходящих через какую-либо вершину, нужно просто отбросить саму эту вершину.
[2] Такая процедура называется топологической сортировкой графа.