Системы линейных уравнений

Переходим к изучению произвольных систем линейных уравнений, причем число неизвестных не обязательно равно числу уравнений.

Пусть дана система s линейных уравнений с n неизвестными

Рассмотрим матрицы

А - составленную из коэффициентов, и

- расширенную матрицу, полученную из А добавлением столбцов свободных членов

Вычислим ранг этих матриц. Пусть rang A=r, тогда, по определению, максимальная линейно независимая система векторов-столбцов содержит r векторов. Поэтому возможны только 2 случая:

1) если вектор-столбец из свободных членов линейно выражается через эти r векторов, то rang A= rang ;

2) если добавление вектора-столбца из свободных членов меняет ранг матрицы, тогда rang = rang A+1.

Теорема Кронекера - Капелли. Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы А.

Доказательство

1. Пусть система (1) совместна, то есть имеет решение. Рассмотрим одно из ее решений k₁,k₂,...,k_n.

Подставим эти значения в систему (1), получим

Эта система состоит из истинных тождеств. Если рассматривать систему векторов-столбцов, то для нее можно записать

k₁a₁+ k₂ a₂+...+ k_n a_n=b.

Таким образом, все векторы-столбцы, входящие в расширенную матрицу , линейно выражаются через векторы-столбцы, входящие в матрицу А.

В то же время все векторы-столбцы, входящие в матрицу А, линейно выражаются через векторы-столбцы, входящие в матрицу, следовательно, эти две системы векторов эквивалентны, поэтому имеют равные ранги. Получим, что rang A= rang .

2. Пусть rang A= rang . Это означает, по определению, что число линейно независимых векторов-столбцов в матрицах A и одинаково, отсюда следует, что вектор-столбец, состоящий из свободных членов, линейно выражается через векторы-столбцы, входящие в матрицу А, то есть

$ k₁,k₂,...,k_n (k₁a₁+ k₂ a₂+...+ k_n a_n=b).

Переходя в последнем равенстве к координатам, получим

где каждое равенство является истинным тождеством. А отсюда следует, что (k₁,k₂,...,k_n) - решение системы (1), то есть система (1) совместна.

Мы рассмотрели критерий совместности систем линейных уравнений, который позволяет ответить на вопрос, имеет ли данная система решение или нет. Вообще для любой системы верно лишь одно из следующих утверждений:

1) система несовместна;

2) система имеет единственное решение;

3) система имеет бесчисленное множество решений.

Рассмотрим метод, позволяющий не только определить, будет ли система совместна, но и найти решение.

Определение. Две системы уравнений S₁ и S₂ называются равносильными, если каждое решение системы S₁ является решением системы S₂и наоборот (то есть множества их решений совпадают, причем если одна из них несовместна, то и вторая несовместна).

Определение. Следующие преобразования систем линейных уравнений будем называть элементарными:

1) вычеркивание уравнений вида

0x₁+0x₂+...+0x_n=0;

2) прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число с;

3) изменение нумерации неизвестных (к этому способу будем обращаться реже, чем к двум другим).

Предложение. В результате элементарных преобразований системы линейных уравнений получим систему, равносильную данной.

Доказательство

Пусть дана система линейных уравнений

(*)

Если в системе есть уравнение вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=0, то после преобразования 1) получим систему равносильную данной, что очевидно.

Если к обеим частям i-го уравнения прибавим соответствующие части j-го уравнения, умноженные на произвольное число k, получим систему

(**)

Очевидно, что системы (*) и (**) отличаются одним уравнением.

Рассмотрим это уравнение

(a_i1+ka_j1)x₁+...+(a_in+ka_jn)x_n=b_i+kb_j Û a_i1x₁+ka_j1x₁+...+a_inx_n +ka_jnx_n=b_i+kb_j

Û (a_i1x₁+...+a_inx_n )+k(a_j1x₁+...+a_jnx_n)=b_i+kb_j. (***)

Пусть k₁,k₂,...,k_n - произвольное решение системы уравнений (*), подставляя эти значения в уравнение (***), получим

(a_i1k₁+...+a_ink_n )+k(a_j1k₁+...+a_jnk_n)=b_i+kb_j,

то есть b_i+kb_j=b_i+kb_j.

Таким образом, любое решение системы (*) есть решение системы (**) (для всех уравнений системы кроме i-го это очевидно, а для i-го мы проверили).

Теперь от системы (**) можно перейти к системе (*), прибавив к i-ой строке j-ую, умноженную на (-k). Тогда получим, что любое решение системы (**) будет решением системы (*), то есть системы (*) и (**) равносильны.

Преобразование 3), вообще говоря, не приводит к равносильной системе, но, если после преобразований вернуть неизвестным их исходные номера, то получим систему, равносильную данной.